p başarı olasılığına sahip bir Bernoulli kitlesinden n=2 birimlik bağımsız bir rastgele ör… — KPSS İstatistik

$p$ başarı olasılığına sahip bir Bernoulli kitlesinden $n=2$ birimlik bağımsız bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2$ ) seçilmiştir. $p$ parametresini tahmin etmek için $T = X_1$ yansız tahmin edicisi kullanılmaktadır. $S = X_1 + X_2$ istatistiğinin $p$ parametresi için yeterli olduğu bilinmektedir.

Rao-Blackwell teoremi uygulanarak elde edilen geliştirilmiş tahmin edici $T^* = E[T|S]$ için varyans değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{p(1-p)}{2}$ Answer
B
$p(1-p)$
C
$\frac{p(1-p)}{4}$
D
$\frac{p}{2}$
E
$2p(1-p)$

Answer

Geliştirilmiş tahmin edicinin varyansı

\frac{p(1-p)}{2}

ifadesine eşittir.

Rao-Blackwell teoremi uyarınca

T^* = E[X_1 | X_1 + X_2]

işlemi yapıldığında elde edilen tahmin edici

\bar{X} = (X_1+X_2)/2

olur. Bağımsız Bernoulli değişkenleri için örneklem ortalamasının varyansı

Var(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n}

formülü ile hesaplanır; burada

n=2

olduğu için sonuç

\frac{p(1-p)}{2}

olur.

Step-by-Step Solution

Orijinal tahmin edicinin varyansını hesapla

Var(T) = Var(X_1) = p(1-p)

Bernoulli dağılımında varyans

p(1-p)

formülü ile hesaplanır.

Rao-Blackwell tahmin edicisini (

T^*

) belirle

T^* = E[X_1 | X_1 + X_2] = \frac{X_1 + X_2}{2}

Simetri özelliğinden dolayı, toplam verildiğinde her bir gözlemin beklenen değeri ortalamaya eşit olur.

T^*

tahmin edicisinin varyansını hesapla

Var(T^*) = Var\left(\frac{X_1 + X_2}{2}\right) = \frac{1}{4} [Var(X_1) + Var(X_2)] = \frac{2p(1-p)}{4} = \frac{p(1-p)}{2}

Bağımsız değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir ve sabit çarpan dışarı karesi alınarak çıkar.

Key Concept

Rao-Blackwell teoremi, yansız bir tahmin edicinin yeterli bir istatistik üzerine koşullandırılmasıyla varyansın azaltılabileceğini (veya aynı kalacağını) ifade eder.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic