Examkin

Question

Difficulty: Very hardTutarlılık (Consistency)

Ortalaması μ\mu ve varyansı σ2>0\sigma^2 > 0 olan bir anakütleden alınan nn birimlik (n≥2n \ge 2) rassal bir örneklem dikkate alınsın (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n). Bilinmeyen θ=μ2\theta = \mu^2 parametresinin tahmini için aşağıdaki iki kestirici (tahmin edici) tanımlanmıştır:

I. T1=Xˉ2T_1 = \bar{X}^2 (Burada Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasıdır)
II. T2=X1⋅X2T_2 = X_1 \cdot X_2

Gözlem sayısı nn sonsuza ıraksarken (n→∞n \to \infty), bu iki kestiricinin yansızlık ve tutarlılık durumları hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle söylenebilir?

  1. T1T_1 yanlı fakat tutarlıdır; T2T_2 ise yansız fakat tutarsızdır.Answer
  2. B
    Her iki kestirici de yansızdır, fakat yalnızca T1T_1 tutarlı bir kestiricidir.
  3. C
    T1T_1 yanlı ve tutarsızdır; T2T_2 ise yansız ve tutarlı bir kestiricidir.
  4. D
    Her iki kestirici de tutarlıdır, fakat yalnızca T2T_2 yansızdır.
  5. E
    T1T_1 asimptotik yansız olduğu için yansız ve tutarlıdır; T2T_2 ise yanlı ve tutarsızdır.

Answer

T1T_1 tahmin edicisinin yanlı fakat tutarlı, T2T_2 tahmin edicisinin ise yansız fakat tutarsız olduğunu ifade eden seçenektir.
Tahmin edici T1T_1'in beklenen değeri hesaplandığında E(Xˉ2)=μ2+σ2/nE(\bar{X}^2) = \mu^2 + \sigma^2/n bulunur. Bu değer μ2\mu^2'ye eşit olmadığı için T1T_1 yanlıdır. Ancak Büyük Sayılar Yasası'na göre örneklem ortalaması kitle ortalamasına olasılıkta yakınsar (Xˉ→pμ\bar{X} \xrightarrow{p} \mu). Sürekli fonksiyonların olasılıkta yakınsamayı koruması prensibi (Slutsky Teoremi) gereği Xˉ2→pμ2\bar{X}^2 \xrightarrow{p} \mu^2 olur, bu nedenle T1T_1 yanlı olmasına rağmen tutarlıdır. Öte yandan T2=X1⋅X2T_2 = X_1 \cdot X_2 tahmin edicisi gözlemlerin bağımsızlığından dolayı E(X1⋅X2)=μ⋅μ=μ2E(X_1 \cdot X_2) = \mu \cdot \mu = \mu^2 sonucunu verir ve tam yansızdır. Buna karşılık T2T_2, artan nn çapındaki örneklem bilgilerini kullanmaz ve varyansı nn'den bağımsız kalır. Varyansı limite giderken sıfıra yakınsamadığı için T2T_2 tutarsızdır.

Step-by-Step Solution

1
T1T_1'in yansızlığını incelemek için beklenen değerini hesaplayın.
E(T1)=E(Xˉ2)=Var(Xˉ)+[E(Xˉ)]2=σ2n+μ2E(T_1) = E(\bar{X}^2) = Var(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2.
Varyans formülü Var(Y)=E(Y2)−[E(Y)]2Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 kullanılarak beklenen değer bulunur. Sonuç μ2\mu^2'ye eşit olmadığı için T1T_1 yanlıdır.
2
T1T_1'in tutarlılığını Slutsky (Sürekli Dönüşüm) Teoremi ile değerlendirin.
Büyük Sayılar Yasası gereği Xˉ→pμ\bar{X} \xrightarrow{p} \mu'dur. g(x)=x2g(x) = x^2 sürekli bir fonksiyon olduğundan Xˉ2→pμ2\bar{X}^2 \xrightarrow{p} \mu^2 olur.
Bir tahmin edicinin olasılıkta parametreye yakınsaması onun tutarlı olduğunu gösterir, bu nedenle T1T_1 tutarlıdır.
3
T2T_2'nin yansızlığını incelemek için beklenen değerini hesaplayın.
E(T2)=E(X1⋅X2)=E(X1)⋅E(X2)=μ⋅μ=μ2E(T_2) = E(X_1 \cdot X_2) = E(X_1) \cdot E(X_2) = \mu \cdot \mu = \mu^2.
Örneklemdeki gözlemler birbirinden bağımsız olduğu için çarpımlarının beklenen değeri, beklenen değerlerin çarpımına eşittir. Sonuç parametreye eşit çıktığından T2T_2 yansızdır.
4
T2T_2'nin tutarlılığını incelemek için asimptotik varyansını veya yakınsamasını analiz edin.
T2T_2 sadece iki gözleme dayanır. Varyansı nn sonsuza giderken sıfıra yakınsamaz ve μ2\mu^2'ye olasılıkta yığılma göstermez.
Örneklem çapı nn artsa bile T2T_2 yeni bilgileri kullanmaz. Tutarlı olması için varyansının limit durumunda sıfır olması (veya dağılımın dejenere olması) gerekir, dolayısıyla T2T_2 tutarsızdır.

Key Concept

Yansızlık ve Tutarlılık Arasındaki Fark (Tutarlılıkta Olasılıkta Yakınsama ve Slutsky Teoremi)
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tutarlılık (Consistency)

More questions from this topic