Bir kamu araştırma enstitüsü, belirli bir bölgedeki hanehalkı su tüketim miktarlarını mode… — KPSS İstatistik

Bir kamu araştırma enstitüsü, belirli bir bölgedeki hanehalkı su tüketim miktarlarını modellemek amacıyla $n$ hacimli bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) derlemiştir. Bu tüketim miktarlarının dağılımına ait kitle ortalaması $\mu$ ve kitle varyansı $\sigma^2$ bilinmemektedir.

Süreci yürüten bir araştırmacı, $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T_1(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ fonksiyonunu tanımlamış ve toplanan mevcut veri setini kullanarak bu fonksiyonun sonucunu $120$ olarak hesaplamıştır. Aynı araştırmacı, $\sigma^2$ parametresinin tahmini için ise $T_2(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$ fonksiyonunu bir alternatif olarak önermiştir.

Nokta tahmin edici, tahmin değeri ve istatistik kavramları bağlamında, bu modelleme süreciyle ilgili aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğrudur?

A
$T_1(X)$ tahmin edicisinin yansız olması, onun Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerinin varyansına eşit olmasını engeller ve MSE değerinin her durumda sıfırdan farklı bir yan miktarı içermesine neden olur.
B
Elde edilen $120$ değeri, $\mu$ parametresinin yansız bir tahmin edicisi olduğundan, örneklem hacmi sonsuza giderken her zaman tutarlı bir şekilde gerçek kitle ortalamasına yakınsayacaktır.
$T_2(X)$ fonksiyonu, hesaplanabilmesi için bilinmeyen $\mu$ parametresine ihtiyaç duyduğundan bir "istatistik" değildir; hesaplanan $120$ değeri ise bir tahmin edici değil, $\mu$ parametresinin örneklemden elde edilen bir "nokta tahmin değeri"dir.Answer
D
$T_2(X)$ fonksiyonunun $\sigma^2$ için en iyi tahmin edici (UMVUE) olabilmesi, ancak bu fonksiyonun tam (complete) bir yeterli istatistiğin fonksiyonu olduğu Lehmann-Scheffe teoremi ile ispatlandığında mümkündür.
E
$T_1(X)$ fonksiyonu tutarlı bir tahmin edici özelliğine sahip olduğu için, örneklem hacminden bağımsız olarak her durumda yansız olmak zorundadır.

Answer

T_2(X)

fonksiyonu bilinmeyen

\mu

parametresini içerdiğinden bir istatistik değildir; hesaplanan

120

sonucu ise tahmin edici değil, bir tahmin değeridir.

Doğru olan seçenekte matematiksel istatistiğin en temel kuralı vurgulanmıştır: Bir 'istatistik', yalnızca örneklem gözlemlerine ve bilinen sabitlere bağlı olan, bilinmeyen hiçbir parametre içermeyen bir fonksiyondur.

T_2(X)

fonksiyonu kitleye ait bilinmeyen

\mu

parametresini içerdiği için istatistik tanımına uymaz ve pratikte tahmin edici olarak kullanılamaz. Ayrıca, 'tahmin edici' (estimator) örneklem değerlerinin bir fonksiyonu olan rassal bir değişkendir; 'tahmin değeri' (estimate) ise bu fonksiyonun belirli bir örneklem için aldığı sayısal sonuçtur (

120

gibi).

Step-by-Step Solution

İstatistik ve tahmin edici kavramlarının tanımlarını değerlendirmek.

Bir fonksiyonun istatistik (ve tahmin edici) olabilmesi için kitleye ait bilinmeyen hiçbir parametre içermemesi, yalnızca örneğe ve bilinen sabitlere bağlı olması gerekir.

T_2(X)

fonksiyonu bilinmeyen

\mu

parametresini içerdiği için bu temel şartı sağlamaz.

Kavramsal ayrımın temeli, bir fonksiyonun elde edilen veriyle gerçekten hesaplanabilir olup olmadığıdır.

Tahmin edici (estimator) ile tahmin değeri (estimate) arasındaki farkı belirlemek.

T_1(X)

örneklem değerlerinin bir fonksiyonu (rassal değişken) olarak bir 'tahmin edici'dir. Örneklemden hesaplanan

120

sonucu ise bu tahmin edicinin belirli bir deneme için aldığı sayısal 'tahmin değeri'dir.

Sayısal değerler için asimptotik veya teorik özellikler (yansızlık, tutarlılık) tanımlanamaz; bu özellikler tahmin edici fonksiyonlara aittir.

Key Concept

Nokta Tahmin Edici, Tahmin Değeri ve İstatistik Kavramlarının Temel Özellikleri

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic