Ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 olan bir kütleden alınan n hacimli (n > 1) bağımsız ve… — KPSS İstatistik

Ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kütleden alınan $n$ hacimli ( $n > 1$ ) bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ ile gösterilsin. Kütle ortalamasının karesi olan $\theta = \mu^2$ parametresinin tahmini için,

T_n = \bar{X}^2 - \frac{\hat{\sigma}^2}{n}

istatistiği önerilmiştir. Burada $\bar{X}$ örneklem ortalamasını ve $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ ise kütle varyansının en çok olabilirlik tahmin edicisini ifade etmektedir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin $\theta = \mu^2$ parametresi için yan miktarı (bias) ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A
Yan miktarı $0$ 'dır, yansız ve asimptotik yansızdır.
B
Yan miktarı $\frac{\sigma^2}{n}$ 'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.
Yan miktarı $\frac{\sigma^2}{n^2}$ 'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.Answer
D
Yan miktarı $-\frac{\sigma^2}{n^2}$ 'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.
E
Yan miktarı $\frac{\sigma^2}{n-1}$ 'dir, yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.

Answer

Doğru seçenek, yan miktarının

\frac{\sigma^2}{n^2}

olduğunu ve tahmin edicinin asimptotik yansız olduğunu belirten seçenektir.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E[T_n] = E[\bar{X}^2] - \frac{1}{n}E[\hat{\sigma}^2]

formülü ile hesaplanır. İlk olarak,

E[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}

eşitsizliği bilinmelidir. İkinci terimde yer alan

\hat{\sigma}^2

en çok olabilirlik varyans tahmin edicisi olduğu için beklenen değeri

\frac{n-1}{n}\sigma^2

'dir. Bunlar denklemde yerine konulduğunda,

E[T_n] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n} - \frac{n-1}{n^2}\sigma^2 = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n^2}

elde edilir. Parametremiz

\theta = \mu^2

olduğundan yan miktarı

E[T_n] - \theta = \frac{\sigma^2}{n^2}

olur.

n

sonsuza giderken bu yan miktarı limit olarak sıfıra yaklaştığı için tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik olarak yansızdır.

Step-by-Step Solution

\bar{X}^2

'nin beklenen değerinin hesaplanması

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2

Yan miktarını bulmak için

T_n

tahmin edicisini oluşturan terimlerin ayrı ayrı beklenen değerleri bulunmalıdır.

\hat{\sigma}^2

'nin beklenen değerinin bulunması

\hat{\sigma}^2 = \frac{n-1}{n} S^2

olduğundan,

E[\hat{\sigma}^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2

olur.

En çok olabilirlik varyans tahmin edicisi yanlıdır ve beklenen değeri kütle varyansının

\frac{n-1}{n}

katıdır.

T_n

'nin beklenen değerinin ve yan miktarının hesaplanması

E[T_n] = E[\bar{X}^2] - \frac{1}{n}E[\hat{\sigma}^2] = \left(\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}\right) - \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\sigma^2\right) = \mu^2 + \frac{n\sigma^2 - (n-1)\sigma^2}{n^2} = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n^2}

. Yan miktarı

= E[T_n] - \theta = \frac{\sigma^2}{n^2}

Tahmin edicinin beklenen değerinden, tahmin edilen gerçek parametrenin (

\mu^2

) çıkarılması yan miktarını (bias) verir.

Asimptotik yansızlık durumunun incelenmesi

\lim_{n \to \infty} Yan(T_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2}{n^2} = 0

. Tahmin edici asimptotik yansızdır.

Örneklem hacmi sonsuza giderken yan miktarı sıfıra yakınsıyorsa, söz konusu tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Key Concept

Yan Miktarı (Bias) ve Asimptotik Yansızlık

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic