Examkin

Question

Difficulty: HardAsimptotik Yansızlık

Bir risk analiz uzmanı, belirli bir elektronik bileşenin ömrünün (saat cinsinden) ortalaması θ\theta olan üstel dağılıma uygun olduğunu modellemiştir. Uzman, bileşenin bozulma hızını ifade eden λ=1θ\lambda = \frac{1}{\theta} parametresi ile ilgilenmektedir. Bu parametreyi tahmin etmek için nn hacimli (n>1n>1) bağımsız bir rastgele örneklem çekmiş ve λ\lambda'nın en çok olabilirlik tahmin edicisini λ^=1Xˉ\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} olarak belirlemiştir.

(Bilgi: Xi∼U¨stel(θ)X_i \sim \text{Üstel}(\theta) rassal değişkenlerinin toplamı olan Y=∑i=1nXiY = \sum_{i=1}^n X_i istatistiği Gamma(n,θ)\text{Gamma}(n, \theta) dağılımına sahiptir ve n>1n>1 için E(Y−1)=1θ(n−1)E(Y^{-1}) = \frac{1}{\theta(n-1)} eşitliği sağlanır.)

Buna göre, λ^\hat{\lambda} tahmin edicisinin beklenen değeri E(λ^)E(\hat{\lambda}) ve λ\lambda parametresi için asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

  1. E(λ^)=nn−1λE(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda ; λ^\hat{\lambda} asimptotik yansız bir tahmin edicidir.Answer
  2. B
    E(λ^)=λE(\hat{\lambda}) = \lambda ; λ^\hat{\lambda} yansız bir tahmin edicidir (dolayısıyla asimptotik yansızdır).
  3. C
    E(λ^)=n−1nλE(\hat{\lambda}) = \frac{n-1}{n}\lambda ; λ^\hat{\lambda} asimptotik yansız bir tahmin edicidir.
  4. D
    E(λ^)=nn−1λE(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda ; λ^\hat{\lambda} asimptotik yansız değildir.
  5. E
    E(λ^)=1n−1λE(\hat{\lambda}) = \frac{1}{n-1}\lambda ; λ^\hat{\lambda} asimptotik yansız değildir.

Answer

Tahmin edicinin beklenen değeri E(λ^)=nn−1λE(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda olarak bulunur. Limit durumu lim⁡n→∞nn−1λ=λ\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\lambda = \lambda olduğu için tahmin edici asimptotik yansızdır.
Beklenen değer hesaplaması doğru yapıldığında E(nY)=n⋅E(Y−1)=nn−11θ=nn−1λE(\frac{n}{Y}) = n \cdot E(Y^{-1}) = \frac{n}{n-1}\frac{1}{\theta} = \frac{n}{n-1}\lambda sonucuna ulaşılır. Bu ifade λ\lambda'ya eşit olmadığı için tahmin edici yanlıdır (yan miktarı 1n−1λ\frac{1}{n-1}\lambda). Ancak n→∞n \to \infty için lim⁡n→∞nn−1λ=λ\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1}\lambda = \lambda eşitliği sağlandığından tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.

Step-by-Step Solution

1
Tahmin ediciyi verilen istatistik (YY) cinsinden ifade et.
Xˉ=∑Xin=Yn\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{Y}{n} olduğundan, λ^=1Xˉ=nY\hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} = \frac{n}{Y} elde edilir.
Beklenen değeri hesaplayabilmek için soruda dağılım özelliği verilen Y istatistiğine geçiş yapılmalıdır.
2
Beklenen değer operatörünü uygula ve soruda verilen bilgiyi kullan.
E(λ^)=E(nY)=n⋅E(Y−1)=n⋅1θ(n−1)E(\hat{\lambda}) = E\left(\frac{n}{Y}\right) = n \cdot E(Y^{-1}) = n \cdot \frac{1}{\theta(n-1)} bulunur.
Sabit katsayılar (nn) beklenen değerin dışına alınır ve Gamma dağılımı için geçerli olan ters moment formülü yerine konur.
3
Sonucu hedef parametre (λ\lambda) cinsinden düzenle.
λ=1θ\lambda = \frac{1}{\theta} olduğundan, E(λ^)=nn−1λE(\hat{\lambda}) = \frac{n}{n-1}\lambda elde edilir.
Soru λ\lambda parametresi üzerinden sorulmuştur, bu yüzden θ\theta hedef parametreye dönüştürülmelidir.
4
Asimptotik yansızlık durumu için örneklem çapı nn'i sonsuza götürerek limit al.
lim⁡n→∞E(λ^)=lim⁡n→∞(nn−1λ)=1⋅λ=λ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\lambda}) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n-1}\lambda\right) = 1 \cdot \lambda = \lambda sonucu elde edilir.
Asimptotik yansızlığın tanımı lim⁡n→∞E(λ^)=λ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\lambda}) = \lambda şartının sağlanmasıdır.

Key Concept

Asimptotik Yansızlık

Alternative Method

Beklenen değeri bulmak için Xˉ\bar{X}'in tam dağılımını (Erlang dağılımı) bularak E(1/Xˉ)E(1/\bar{X}) integrali doğrudan da hesaplanabilir, ancak Gamma dağılımının moment üreten özellikleri soruda verildiği için dönüştürerek çözmek daha pratiktir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Asimptotik Yansızlık

More questions from this topic