Examkin

Question

Difficulty: MediumAsimptotik Yansızlık

Bir araştırmacı, başarı olasılığı pp olan Bernoulli dağılımına sahip bir kitleden nn (n≥2n \ge 2) çaplı bağımsız bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) almıştır. Kitle varyansı olan θ=p(1−p)\theta = p(1-p) parametresini tahmin etmek için en çok olabilirlik tahmin edicisi olan θ^=Xˉ(1−Xˉ)\hat{\theta} = \bar{X}(1-\bar{X}) istatistiği önerilmiştir.

Buna göre, θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin yansızlık durumu ve yan miktarı (Bias) ile asimptotik yansızlık özelliği aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

  1. Yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} olur.Answer
  2. B
    Yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı p(1−p)n\frac{p(1-p)}{n} olur.
  3. C
    Yansızdır ve asimptotik yansızdır; yan miktarı 00 olur.
  4. D
    Yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı −p2n-\frac{p^2}{n} olur.
  5. E
    Yanlıdır ve asimptotik yansız değildir; yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} olur.

Answer

Tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır; yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} olarak bulunur.
Tahmin edicinin beklenen değeri E[Xˉ−Xˉ2]E[\bar{X} - \bar{X}^2] işlemiyle hesaplandığında p(1−p)−p(1−p)np(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} bulunur. Gerçek parametre değeri olan p(1−p)p(1-p) çıkarıldığında yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} elde edilir. Yan miktarı sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır. Ancak n→∞n \to \infty için yan miktarının limiti 00'a yaklaştığından asimptotik olarak yansızdır.

Step-by-Step Solution

1
Örneklem ortalaması Xˉ\bar{X}'in beklenen değerini ve varyansını belirle.
E[Xˉ]=pE[\bar{X}] = p ve Var(Xˉ)=p(1−p)nVar(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n} elde edilir.
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplarken Xˉ\bar{X} ve Xˉ2\bar{X}^2'nin özelliklerine ihtiyaç duyulacaktır.
2
Tahmin ediciyi genişleterek E[Xˉ2]E[\bar{X}^2] terimini hesapla.
E[Xˉ2]=Var(Xˉ)+(E[Xˉ])2=p(1−p)n+p2E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 bulunur.
θ^=Xˉ(1−Xˉ)=Xˉ−Xˉ2\hat{\theta} = \bar{X}(1-\bar{X}) = \bar{X} - \bar{X}^2 olduğu için E[Xˉ2]E[\bar{X}^2] değeri denkleme dahil edilmelidir.
3
Tahmin edicinin beklenen değerini E[θ^]=E[Xˉ]−E[Xˉ2]E[\hat{\theta}] = E[\bar{X}] - E[\bar{X}^2] formülüyle hesapla.
E[θ^]=p−(p(1−p)n+p2)=p(1−p)−p(1−p)nE[\hat{\theta}] = p - \left( \frac{p(1-p)}{n} + p^2 \right) = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} olarak sadeleştirilir.
Yansızlık durumunu kontrol etmek için tahmin edicinin ortalaması (beklenen değeri) bulunmalıdır.
4
Yan miktarını (Bias) hesapla ve asimptotik durumunu n→∞n \to \infty için değerlendir.
Yan=E[θ^]−θ=−p(1−p)nYan = E[\hat{\theta}] - \theta = -\frac{p(1-p)}{n}. Limit alındığında lim⁡n→∞−p(1−p)n=0\lim_{n \to \infty} -\frac{p(1-p)}{n} = 0'dır.
Yan miktarı sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır, ancak limiti sıfıra gittiği için asimptotik yansızdır.

Key Concept

Asimptotik Yansızlık

Alternative Method

Beklenen değeri bulmak için Bernoulli örneklem varyansı formülünden yararlanılabilir. S2=nn−1Xˉ(1−Xˉ)S^2 = \frac{n}{n-1}\bar{X}(1-\bar{X}) yansız bir tahmin edicidir. Buradan E[Xˉ(1−Xˉ)]=n−1nE[S2]=n−1np(1−p)E[\bar{X}(1-\bar{X})] = \frac{n-1}{n}E[S^2] = \frac{n-1}{n}p(1-p) olduğu doğrudan görülebilir ve yan hesabı yapılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Asimptotik Yansızlık

More questions from this topic