Bir sürecin durumlar arası geçişleri, durum uzayı S = \{1, 2, 3\} olan homojen (zamanla de… — KPSS İstatistik

Bir sürecin durumlar arası geçişleri, durum uzayı $S = \{1, 2, 3\}$ olan homojen (zamanla değişmeyen) kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu zincire ait bir adım geçiş olasılıkları matrisi ( $P$ ) aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}

Sürecin başlangıç anında 1. durumda ( $X_0 = 1$ ) olduğu ve 2. adımda tekrar 1. duruma ( $X_2 = 1$ ) döndüğü bilinmektedir.

Buna göre, sürecin 1. adımda 2. durumda ( $X_1 = 2$ ) bulunmuş olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{2}{13}$
B
$\frac{1}{3}$
C
$\frac{17}{48}$
$\frac{8}{17}$ Answer
E
$\frac{1}{2}$

Answer

İstenen olasılık

\frac{8}{17}

değeridir.

İstenen olasılık, sürecin

X_0=1

'den başlayıp

X_2=1

'de bittiği tüm olası yolların (toplam olasılığın) içinde, tam olarak

X_1=2

ara durumundan geçen spesifik yolun oranını ifade eder. Paya

p_{12} \cdot p_{21} = \frac{1}{6}

ortak olasılığı yazılır. Paydaya ise

X_0=1

'den

X_2=1

'e varan üç olası yolun toplam olasılığı olan

p_{11}^{(2)} = \frac{17}{48}

marjinal olasılığı yazılır. Bu iki değer oranlandığında sonucun

\frac{8}{17}

olduğu açıkça görülür.

Step-by-Step Solution

İstenen olasılık ifadesini koşullu olasılık kurallarına göre matematiksel olarak formülleştirme.

P(X_1 = 2 \mid X_0 = 1, X_2 = 1) = \frac{P(X_1 = 2, X_2 = 1 \mid X_0 = 1)}{P(X_2 = 1 \mid X_0 = 1)}

Bayes teoremi ve koşullu olasılık tanımı gereği, verilen koşullara göre geçmişe dönük bir olasılığı hesaplamak için ortak olasılığın, gerçekleştiği bilinen olayın olasılığına bölünmesi gerekir.

Pay kısmında yer alan ortak olasılığı Markov özelliğini kullanarak hesaplama.

P(X_1 = 2, X_2 = 1 \mid X_0 = 1) = P(X_1 = 2 \mid X_0 = 1) \cdot P(X_2 = 1 \mid X_1 = 2) = p_{12} \cdot p_{21} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Markov zincirlerinde gelecekteki durum sadece mevcut duruma bağlıdır (belleksizlik özelliği). Bu nedenle ardışık bir yolun olasılığı, o yolu oluşturan bir adımlık geçiş olasılıklarının çarpımı ile bulunur.

Paydada yer alan 2 adımlı marjinal geçiş olasılığını Chapman-Kolmogorov eşitliği ile hesaplama.

P(X_2 = 1 \mid X_0 = 1) = p_{11}^{(2)} = p_{11}p_{11} + p_{12}p_{21} + p_{13}p_{31} = \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{16} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{3}{48} + \frac{8}{48} + \frac{6}{48} = \frac{17}{48}

1. durumdan başlayıp 2 adım sonra tekrar 1. duruma gelmek için olası tüm ara durumlar (1, 2 ve 3) üzerinden geçiş olasılıklarının toplamı alınmalıdır.

Elde edilen pay ve payda değerlerini formülde yerine koyarak nihai koşullu olasılığı elde etme.

P(X_1 = 2 \mid X_0 = 1, X_2 = 1) = \frac{1/6}{17/48} = \frac{8/48}{17/48} = \frac{8}{17}

Payı ve paydayı sadeleştirerek oranladığımızda, 2. adımda 1. duruma dönüldüğü bilindiğinde, bu sürecin 2. durum üzerinden gerçekleşmiş olma olasılığını kesin olarak hesaplamış oluruz.

Key Concept

Koşullu Olasılık, Markov Özelliği ve Chapman-Kolmogorov Eşitliği

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic