Bir kamu yatırım projesinin ilerleyişi, haftalık periyotlarla değerlendirilmekte ve üç far… — KPSS İstatistik

Bir kamu yatırım projesinin ilerleyişi, haftalık periyotlarla değerlendirilmekte ve üç farklı aşamadan birinde olduğu raporlanmaktadır: Ön Hazırlık ( $H$ ), İhale Süreci ( $I$ ) ve Sözleşme/Denetim ( $S$ ).

Sürecin halden hale geçişleri, durum uzayı $\{H, I, S\}$ olan kesikli zamanlı homojen bir Markov zinciri ile modellenmiştir. Haftalık geçiş olasılıkları matrisi ( $P$ ) aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.8 & 0 \\ 0 & x & y \\ 0.5 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}

Başlangıçta ( $t=0$ ) Ön Hazırlık ( $H$ ) aşamasında olan bir projenin, tam 3 hafta sonra ( $t=3$ ) Sözleşme/Denetim ( $S$ ) aşamasında olma olasılığının $0.416$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, İhale Sürecinde ( $I$ ) bulunan bir projenin bir sonraki hafta Sözleşme/Denetim ( $S$ ) aşamasına geçme olasılığı ( $y$ ) kaçtır?

A
0.3
0.4Answer
C
0.5
D
0.6
E
0.8

Answer

0.4

Verilen geçiş matrisinde satır toplamlarının 1 olması zorunluluğundan 2. satır için

x + y = 1

olduğu görülür. H aşamasından başlayıp 3 adımda S aşamasına ulaşan olasılığı sıfırdan farklı üç ayrı yol mevcuttur: (

H \to H \to I \to S

), (

H \to I \to I \to S

) ve (

H \to I \to S \to S

). Bu yolların olasılıkları sırasıyla

0.16y

0.8xy

0.4y

'dir. Toplam olasılık

0.56y + 0.8xy = 0.416

olarak verildiğinden,

x

yerine

1-y

konularak denklem çözüldüğünde

0.8y^2 - 1.36y + 0.416 = 0

kuadratik denklemi elde edilir. Denklemin kökleri

1.3

0.4

'tür. Olasılık değeri

[0,1]

aralığında olması gerektiğinden doğru değer

0.4

'tür.

Step-by-Step Solution

Geçiş matrisindeki satır toplamları kuralını uygulama.

2. satır için:

0 + x + y = 1 \implies x = 1 - y

denklemi elde edilir.

Markov zincirlerinde herhangi bir durumdan diğer durumlara geçiş olasılıklarının toplamı her zaman 1'e eşit olmalıdır.

H'den S'ye 3 adımlı tüm olası yolları belirleme.

Sıfırdan büyük olasılıklı üç yol vardır: 1)

H \to H \to I \to S

, 2)

H \to I \to I \to S

, 3)

H \to I \to S \to S

Olasılığı 0 olan geçişler (

H \to S

I \to H

) elenerek, 3 haftalık sürede gerçekleşebilecek zincirler bulunur.

Her bir yolun olasılığını hesaplama.

1. yol:

0.2 \times 0.8 \times y = 0.16y

2. yol:

0.8 \times x \times y = 0.8xy

3. yol:

0.8 \times y \times 0.5 = 0.4y

Kesikli zamanlı Markov zincirinde ardışık adımların birleşik olasılığı, geçiş olasılıklarının çarpımına eşittir.

Bulunan olasılıkları toplayıp verilen

0.416

değerine eşitleme.

Toplam olasılık:

0.16y + 0.8xy + 0.4y = 0.56y + 0.8xy = 0.416

3. adımda S'de olma olayının toplam olasılığı, tüm birbirinden ayrık yolların olasılıklarının toplamıdır (Chapman-Kolmogorov eşitliği).

Denklemde

x

yerine

1-y

koyarak 2. dereceden denklemi çözme.

0.56y + 0.8(1-y)y = 0.416 \implies 1.36y - 0.8y^2 = 0.416 \implies 100y^2 - 170y + 52 = 0

. Kökler

y_1 = 1.3

y_2 = 0.4

olarak bulunur. Olasılık 1'den büyük olamayacağı için

y = 0.4

alınır.

Bilinmeyen sayısını teke düşürmek ve olasılık aksiyomlarına (

0 \leq y \leq 1

) uygun geçerli kökü belirlemek için.

Key Concept

Kesikli Zamanlı Markov Zincirlerinde n-Adımlı Geçiş Olasılıkları ve Chapman-Kolmogorov

Alternative Method

P^3

matrisini doğrudan sembolik olarak çarparak bulmak da mümkündür.

P^2 = P \times P

yapılarak ve ardından

P^3 = P^2 \times P

matris çarpımı ile 1. satır 3. sütun elemanı elde edilip 0.416'ya eşitlenebilir. Matris çarpımı da doğrudan yol analizindeki denklemin (

1.36y - 0.8y^2

) aynısını verecektir.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic