Kesikli Zamanlı Markov Zincirleri ve Geçiş Olasılıkları

Bir sistem, $S = \{1, 2, 3\}$ durum uzayında tanımlı kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu zincirin bir adım geçiş olasılıkları matrisi $P$, bazı elemanları bilinmeyen ($a, b, c$) olarak aşağıda verilmiştir:

Sistemin $t=0$ anındaki (başlangıç) durum dağılımı vektörü $\pi^{(0)} = [0.6, \ 0.4, \ 0]$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, sistemin 2. adımda ($t=2$ anında) 3 numaralı durumda olma olasılığı olan $P(X_2 = 3)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Bir sosyal güvenlik kurumu, sigortalıların istihdam durumlarını $S = \{S_1, S_2, S_3\}$ durum uzayına sahip kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellemektedir:
- $S_1$: Tam zamanlı çalışan
- $S_2$: Kısmi zamanlı çalışan
- $S_3$: İş arayan

Kuruma yeni kayıt olan bir kişinin başlangıçtaki ($t=0$) durum olasılıkları sırasıyla $P(X_0=S_1)=0,\!5$, $P(X_0=S_2)=0,\!3$ ve $P(X_0=S_3)=0,\!2$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, 2. haftada ($t=2$) $S_2$ durumunda ve 1. haftada ($t=1$) $S_1$ durumunda olduğu bilinen bir kişinin, başlangıçta ($t=0$) da $S_1$ durumunda olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu yatırım projesinin ilerleyişi, haftalık periyotlarla değerlendirilmekte ve üç farklı aşamadan birinde olduğu raporlanmaktadır: Ön Hazırlık ($H$), İhale Süreci ($I$) ve Sözleşme/Denetim ($S$).

Sürecin halden hale geçişleri, durum uzayı $\{H, I, S\}$ olan kesikli zamanlı homojen bir Markov zinciri ile modellenmiştir. Haftalık geçiş olasılıkları matrisi ($P$) aşağıda verilmiştir:

Başlangıçta ($t=0$) Ön Hazırlık ($H$) aşamasında olan bir projenin, tam 3 hafta sonra ($t=3$) Sözleşme/Denetim ($S$) aşamasında olma olasılığının $0.416$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre, İhale Sürecinde ($I$) bulunan bir projenin bir sonraki hafta Sözleşme/Denetim ($S$) aşamasına geçme olasılığı ($y$) kaçtır?

Bir vergi dairesi, mükelleflerinin vergi ödeme uyumlarını her yıl değerlendirerek üç farklı durumdan birine sınıflandırmaktadır: $D_1$ (Düzenli ödeyen), $D_2$ (Gecikmeli ödeyen) ve $D_3$ (İcra takibinde olan). Mükelleflerin bu durumlar arasındaki geçişleri, zamanla değişmeyen (homojen) kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bir mükellefin bir yıldan diğerine durum değiştirme olasılıklarını gösteren geçiş matrisi aşağıda verilmiştir:

Buna göre, bu yıl 'Gecikmeli ödeyen' ($D_2$) durumunda olduğu bilinen bir mükellefin, tam iki yıl sonra 'İcra takibinde olan' ($D_3$) durumunda olma olasılığı kaçtır?

Bir büyükşehir belediyesine ait otobüs filosunun haftalık operasyonel durumları, durum uzayı $S = \{1, 2, 3\}$ olan kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Durumlar sırasıyla şu şekildedir:

1: Seferde
2: Rutin Bakımda
3: Arızalı

Başlangıçta ($t=0$) seferde olduğu bilinen bir otobüsün, 2. haftanın sonunda ($t=2$) arızalı duruma geçtiği gözlemlenmiştir.

Buna göre, bu otobüsün 1. haftanın sonunda ($t=1$) rutin bakımda olma olasılığı kaçtır?

Bir tarım bölgesindeki günlük hava durumu 'Yağışlı' ($Y$) ve 'Güneşli' ($G$) olmak üzere iki durumlu bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Sürece ilişkin tek adımlı geçiş olasılıkları matrisi $P$ aşağıda verilmiştir:

Matristeki satır ve sütunlar sırasıyla $Y$ ve $G$ durumlarını temsil etmektedir. Buna göre, bugün havanın yağışlı olduğu bilindiğine göre yarın güneşli olma olasılığı kaçtır?

Bir üretim tesisindeki kritik bir makinenin günlük çalışma durumu "Faal" (1) ve "Arızalı" (2) olmak üzere iki durumlu bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu sürece ait tek adımlı geçiş olasılıkları matrisi $P$ aşağıda verilmiştir:

Buna göre, geçiş matrisinin temel özellikleri dikkate alındığında $k$ parametresinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumunda kullanılan Elektronik Belge Yönetim Sistemi'nin (EBYS) günlük operasyonel durumu, durum uzayı $S = \{1, 2\}$ olan kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu modelde "1" durumu sistemin 'çevrimiçi' (online), "2" durumu ise 'çevrimdışı' (offline) olduğunu temsil etmektedir. Sistemin tek adımlı geçiş olasılık matrisi $P$ aşağıda verilmiştir:

Pazartesi günü 'çevrimiçi' olduğu bilinen bu sistemin, iki gün sonraki Çarşamba günü 'çevrimdışı' olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir sürecin durumlar arası geçişleri, durum uzayı $S = \{1, 2, 3\}$ olan homojen (zamanla değişmeyen) kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu zincire ait bir adım geçiş olasılıkları matrisi ($P$) aşağıda verilmiştir:

Sürecin başlangıç anında 1. durumda ($X_0 = 1$) olduğu ve 2. adımda tekrar 1. duruma ($X_2 = 1$) döndüğü bilinmektedir.

Buna göre, sürecin 1. adımda 2. durumda ($X_1 = 2$) bulunmuş olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir makine öğrenmesi algoritmasının optimizasyon sürecindeki hata durumu, $S = \{0, 1, 2\}$ durum uzayında tanımlı kesikli zamanlı homojen bir Markov zinciri ile modellenmektedir.

Durumlar sırasıyla; 0: Düşük Hata, 1: Orta Hata, 2: Yüksek Hata seviyelerini temsil etmektedir. Algoritmanın ardışık iterasyonlarındaki geçiş olasılıkları aşağıdaki $P$ matrisi ile verilmiştir:

Başlangıçta ($t=0$) algoritmanın düşük hata (0) durumunda olduğu bilinmektedir. 2. iterasyonun sonunda ($t=2$) algoritmanın yüksek hata (2) durumunda olduğu gözlemlenmiştir.

Buna göre, algoritmanın 1. iterasyonda ($t=1$) orta hata (1) durumunda bulunmuş olma olasılığı kaçtır?