Examkin

Question

Difficulty: HardTek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) uzmanları, belirli bir kırsal bölgedeki hanelerin aylık ortalama internet kullanım miktarını (GB cinsinden) tahmin etmek amacıyla n=9n=9 hanelik rastgele bir örneklem seçmiştir. İlgili kitle dağılımının normal olduğu varsayılmakta ancak kitle varyansı bilinmemektedir.

Örneklemdeki kullanımlara (XiX_i) ilişkin elde edilen özet istatistikler şu şekildedir:
∑i=19Xi=540\sum_{i=1}^9 X_i = 540 ve ∑i=19Xi2=32688\sum_{i=1}^9 X_i^2 = 32688

Buna göre, bu bölgedeki hanelerin aylık ortalama internet kullanım miktarı (μ\mu) için %95 güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarda kullanılabilecek bazı tablo değerleri: Z0.025=1.960Z_{0.025} = 1.960, Z0.05=1.645Z_{0.05} = 1.645, t8,0.025=2.306t_{8, 0.025} = 2.306, t8,0.05=1.860t_{8, 0.05} = 1.860, t9,0.025=2.262t_{9, 0.025} = 2.262)

  1. [55.388,64.612][55.388, 64.612]Answer
  2. B
    [56.080,63.920][56.080, 63.920]
  3. C
    [55.476,64.524][55.476, 64.524]
  4. D
    [55.652,64.348][55.652, 64.348]
  5. E
    [46.164,73.836][46.164, 73.836]

Answer

Doğru güven aralığı [55.388,64.612][55.388, 64.612] olarak hesaplanan seçenektir.
Kitle varyansı bilinmediğinde ve örneklem hacmi küçük (n<30n < 30) olduğunda, tek kitle ortalaması için güven aralığı formülü Xˉ±t(n−1,α/2)Sn\bar{X} \pm t_{(n-1, \alpha/2)} \frac{S}{\sqrt{n}} şeklindedir. Verilen ham toplamlardan örneklem ortalaması Xˉ=540/9=60\bar{X} = 540 / 9 = 60 ve yansız örneklem varyansı S2=(32688−9×602)/(9−1)=36S^2 = (32688 - 9 \times 60^2) / (9 - 1) = 36 olarak hesaplanır, standart sapma S=6S=6'dır. %95 güven düzeyi için serbestlik derecesi 8 olan T kritik değeri (t8,0.025t_{8, 0.025}) 2.306'dır. Standart hata SE=6/9=2SE = 6 / \sqrt{9} = 2'dir. Hata payı 2.306×2=4.6122.306 \times 2 = 4.612 olarak bulunur ve güven aralığı 60±4.61260 \pm 4.612 işleminden [55.388,64.612][55.388, 64.612] elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Örneklem ortalamasını (Xˉ\bar{X}) hesapla.
Xˉ=∑Xin=5409=60\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{540}{9} = 60
Güven aralığının merkez noktasını belirlemek için örneklem ortalamasına ihtiyaç vardır.
2
Yansız örneklem varyansını (S2S^2) ve standart sapmayı (SS) hesapla.
S2=∑Xi2−nXˉ2n−1=32688−9×36008=32688−324008=2888=36S^2 = \frac{\sum X_i^2 - n\bar{X}^2}{n-1} = \frac{32688 - 9 \times 3600}{8} = \frac{32688 - 32400}{8} = \frac{288}{8} = 36. Buradan S=6S = 6 elde edilir.
Kitle varyansı bilinmediği için güven aralığı hesaplamasında örneklem standart sapması kullanılmalıdır.
3
Uygun dağılımı ve kritik değeri belirle.
Kitle varyansı bilinmediği ve örneklem hacmi küçük (n=9<30n=9 < 30) olduğu için Student-t dağılımı seçilir. Serbestlik derecesi v=n−1=8v = n-1 = 8 ve α/2=0.025\alpha/2 = 0.025 için tablo değeri t8,0.025=2.306t_{8, 0.025} = 2.306'dır.
Bilinmeyen varyans durumunda pivot fonksiyonu T dağılımına uyar.
4
Hata payını (Margin of Error) hesapla ve aralığı oluştur.
Hata Payı = t8,0.025×Sn=2.306×69=2.306×2=4.612t_{8, 0.025} \times \frac{S}{\sqrt{n}} = 2.306 \times \frac{6}{\sqrt{9}} = 2.306 \times 2 = 4.612. Aralık: 60±4.612=[55.388,64.612]60 \pm 4.612 = [55.388, 64.612]
Nokta tahminine hata payı eklenip çıkarılarak alt ve üst güven sınırları bulunur.

Key Concept

Bilinmeyen Varyans Durumunda Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı
Rate this question

Topics

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

More questions from this topic