Bir kamu kurumunda evrak onay süreçlerinin tamamlanma sürelerinin normal dağıldığı varsayı… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda evrak onay süreçlerinin tamamlanma sürelerinin normal dağıldığı varsayılmaktadır. Bu işlem sürelerinin kitle ortalaması ( $\mu$ ) için $\%95$ güven düzeyinde bir aralık tahmini yapılmak istenmektedir. Kitle varyansı bilinmediği için $16$ evraktan oluşan rastgele bir örneklem alınmış olup, örneklem ortalaması $\bar{X} = 45$ dakika ve örneklem standart sapması $S = 8$ dakika olarak hesaplanmıştır.

İlgili kurumdaki bir uzman, güven aralığı sınırlarını hesaplamış ve rapora şu notu düşmüştür: *'Evrak onay süreçlerinin kitle ortalamasının hesaplanan bu güven aralığı içinde yer alma olasılığı $\%95$ 'tir.'*

Buna göre, kitle ortalaması için doğru güven aralığı sınırları ve uzmanın raporundaki yorumun istatistiksel geçerliliği aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

(Gerektiğinde aşağıdaki kritik değerleri kullanınız: $Z_{0.025} = 1.96$ , $t_{15, 0.025} = 2.131$ , $t_{16, 0.025} = 2.120$ )

[40.738, 49.262] ; Yorum hatalıdır, %95 değeri bu spesifik aralığın değil, aralık oluşturma yönteminin güvenilirliğini ifade eder.Answer
B
[40.738, 49.262] ; Yorum doğrudur, hesaplanan aralık kitle ortalamasını gerçekte %95 olasılıkla içinde barındırmaktadır.
C
[41.080, 48.920] ; Yorum hatalıdır, %95 değeri bu spesifik aralığın değil, aralık oluşturma yönteminin güvenilirliğini ifade eder.
D
[41.080, 48.920] ; Yorum doğrudur, hesaplanan aralık kitle ortalamasını gerçekte %95 olasılıkla içinde barındırmaktadır.
E
[40.760, 49.240] ; Yorum hatalıdır, %95 değeri bu spesifik aralığın değil, aralık oluşturma yönteminin güvenilirliğini ifade eder.

Answer

Güven aralığı [40.738, 49.262] olarak hesaplanmalı ve uzmanın olasılık yorumunun istatistiksel açıdan hatalı olduğu belirtilmelidir.

Doğru seçenekte güven aralığı formülü

\bar{X} \pm t_{n-1, \alpha/2} (S/\sqrt{n})

eksiksiz uygulanmış ve kitle varyansı bilinmediğinden serbestlik derecesi

15

olan

t

tablosu değeri (2.131) kullanılarak

[40.738, 49.262]

sınırları bulunmuştur. Aynı zamanda, istatistikte çok yaygın olan 'hesaplanan aralığın olasılığı

\%95

tir' yorumlama hatası da doğru biçimde tespit edilerek yorumun hatalı olduğu belirtilmiştir.

Step-by-Step Solution

Verilen bilgileri ve uygun istatistiksel dağılımı belirleme

Örneklem hacmi

n = 16

\bar{X} = 45

S = 8

. Kitle varyansı bilinmediğinden ve örneklem küçük (

n < 30

) olduğundan Student's t-dağılımı kullanılmalıdır.

Varyansın bilinmediği durumlarda pivot fonksiyonu Z dağılımına değil,

n-1

serbestlik dereceli t dağılımına uyar.

Serbestlik derecesi ve uygun tablo kritik değerini bulma

Serbestlik derecesi

sd = n - 1 = 16 - 1 = 15

\%95

güven düzeyi için

\alpha = 0.05

ve iki yönlü bölge için

\alpha/2 = 0.025

. İlgili t-değeri:

t_{15, 0.025} = 2.131

Güven aralığı formülünde kullanılacak hata payı çarpanını doğru belirlemek için.

Hata payını (E) ve güven aralığı sınırlarını hesaplama

Hata payı

E = t \times (S / \sqrt{n}) = 2.131 \times (8 / 4) = 2.131 \times 2 = 4.262

. Alt sınır:

45 - 4.262 = 40.738

. Üst sınır:

45 + 4.262 = 49.262

Seçilen örnekleme ait

\bar{X}

değeri etrafında nokta tahminine eklenen duyarlılık sınırlarını oluşturmak için.

Uzmanın güven düzeyi yorumunu teorik çerçevede değerlendirme

Yorum hatalıdır. Frekansçı (frequentist) istatistikte,

\%95

güven düzeyi spesifik bir aralığın olasılığını değil, aralığı tahmin etme yönteminin uzun vadede (tekrarlı örneklemlerde) başarılı olma oranını ifade eder.

Gerçekleşmiş bir aralık [40.738, 49.262] hesaplandıktan sonra kitle parametresi (sabit bir değer) ya bu aralıktadır ya da değildir; dolayısıyla bu spesifik durum için olasılık

\%95

değil, tanımsızdır veya

0 / 1

olarak kabul edilir.

Key Concept

Bilinmeyen varyanslı küçük örneklemlerde tek kitle ortalaması güven aralığı ve güven düzeyinin frekansçı yorumu

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic