Bir belediyenin Çevre Koruma Dairesi uzmanları, bir sanayi bölgesindeki yeraltı sularında … — KPSS İstatistik

Bir belediyenin Çevre Koruma Dairesi uzmanları, bir sanayi bölgesindeki yeraltı sularında bulunan ortalama kurşun konsantrasyonunu ( $\mu$ ) tahmin etmek amacıyla bölgedeki 16 farklı kuyudan rastgele su numuneleri almıştır. Kitle varyansının bilinmediği ve yeraltı sularındaki kurşun konsantrasyonlarının normal dağılım gösterdiği varsayılmaktadır. Uzmanlar tarafından $\mu$ için hesaplanan %95 güven aralığı $(189.345, \, 210.655)$ mikrogram/litre olarak raporlanmıştır.

Buna göre, bu örneklemden elde edilen standart sapma ( $S$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(Hesaplamalarda $t_{15, 0.025} = 2.131$ ve $Z_{0.025} = 1.96$ tablo değerlerini dikkate alınız.)

A
$5.00$
$20.00$ Answer
C
$21.74$
D
$40.00$
E
$80.00$

Answer

Doğru değer

20.00

mikrogram/litre olmalıdır.

Verilen güven aralığının geometrik merkezinden yola çıkarak hata payı

E = 10.655

olarak bulunur. Kitle varyansının bilinmemesi ve örneklem çapının küçük (

n=16

) olması nedeniyle standart hata,

Z

istatistiği ile değil

t_{n-1}

istatistiği ile çarpılmalıdır.

E = t_{15, 0.025} \times \frac{S}{\sqrt{n}}

denkleminde verilenler yerine yazıldığında

10.655 = 2.131 \times \frac{S}{4}

elde edilir ve denklem çözüldüğünde standart sapma

20.00

olarak doğrulanır.

Step-by-Step Solution

Güven aralığının sınırlarından faydalanarak hata payını (

E

) hesapla.

E = (210.655 - 189.345) / 2 = 21.31 / 2 = 10.655

Güven aralığı ortalamanın etrafında simetrik olarak

\bar{x} \pm E

formülü ile oluşturulduğundan, hata payı üst sınır ile alt sınır arasındaki farkın yarısına eşittir.

Kitle varyansı bilinmediği için kullanılacak uygun tablo değerini belirle.

n=16 < 30

ve kitle varyansı bilinmediği için

t

dağılımı (

t_{15, 0.025} = 2.131

) seçilmelidir.

Varyansın örneklemden tahmin edildiği durumlarda, test istatistiği standart normal dağılım (

Z

) yerine Student's

t

dağılımına uyar.

Hata payı formülünü yazarak örneklem standart sapmasını (

S

) hesapla.

10.655 = 2.131 \times \frac{S}{\sqrt{16}} \Rightarrow 10.655 = 2.131 \times \frac{S}{4} \Rightarrow S = \frac{10.655 \times 4}{2.131} = 20.00

Hata payı formülünde (

E = t \times \frac{S}{\sqrt{n}}

) bilinen tüm değerler yerine konularak, bilinmeyen

S

parametresi yalnız bırakılır.

Key Concept

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı Çıkarımı ve Hata Payı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic