Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar

Bir araştırmacı, iki değişkenli bir veri setinde kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda birinci temel bileşen Z1=0,6X1−0,8X2Z_1 = 0,6X_1 - 0,8X_2 doğrusal kombinasyonu ile elde edilmiş ve bu bileşenin varyansı 32 olarak hesaplanmıştır. Analize esas alınan kovaryans matrisinin izi (trace) 40 olduğuna göre, katsayılar vektörünün normalize edildiği (a′a=1a'a = 1) bilindiğinde, ikinci temel bileşenin (Z2Z_2) varyansı kaçtır?

  1. A
    32
  2. B
    40
  3. 8Answer
  4. D
    16
  5. E
    24

Answer

İkinci temel bileşenin varyansı 8'dir.
Temel Bileşenler Analizi'nde, doğrusal kombinasyonlarla elde edilen bileşenlerin varyansları, veri setinin kovaryans matrisinin özdeğerlerine (λ\lambda) eşittir. Verilen problemde birinci temel bileşenin varyansı Var(Z1)=32Var(Z_1) = 32 olarak belirtildiğinden, bu değer aynı zamanda birinci özdeğer olan λ1=32\lambda_1 = 32 değerine karşılık gelir. Kovaryans matrisinin izi (trace), matrisin köşegen elemanlarının toplamıdır ve bu değer matematiksel olarak özdeğerlerin toplamına eşittir (∑λi=I˙z(S)\sum \lambda_i = İz(S)). İki değişkenli bir analizde toplam varyans λ1+λ2=40\lambda_1 + \lambda_2 = 40 olduğuna göre, ikinci temel bileşenin varyansı olan λ2=40−32=8\lambda_2 = 40 - 32 = 8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci temel bileşenin varyansı ile özdeğer arasındaki ilişkiyi belirle.
Var(Z1)=λ1=32Var(Z_1) = \lambda_1 = 32
Temel Bileşenler Analizi'nde her bir temel bileşenin varyansı, kovaryans matrisinin ilgili özdeğerine eşittir.
2
Kovaryans matrisinin izi ile toplam varyans arasındaki ilişkiyi kullan.
I˙z(S)=λ1+λ2=40İz(S) = \lambda_1 + \lambda_2 = 40
Bir matrisin özdeğerlerinin toplamı, o matrisin izine (trace) eşittir. TBA'da bu değer toplam varyansı gösterir.
3
İkinci özdeğeri hesapla.
λ2=40−32=8\lambda_2 = 40 - 32 = 8
Toplam varyanstan birinci bileşenin açıkladığı varyans çıkarıldığında kalan miktar ikinci bileşene aittir.
4
İkinci temel bileşenin varyansını sonuçlandır.
Var(Z2)=λ2=8Var(Z_2) = \lambda_2 = 8
İkinci temel bileşenin varyansı, kovaryans matrisinin ikinci özdeğerine eşittir.

Key Concept

Temel bileşenlerin varyansları, analizde kullanılan matrisin özdeğerlerine eşittir ve bu varyansların toplamı matrisin izine (toplam varyansa) eşittir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Temel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar