Examkin

Question

Difficulty: MediumMomentler Yöntemi (Method of Moments)
X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler olmak üzere, olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)={θxθ−1,0<x<10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
şeklinde verilen bir kitleden nn birimlik bir örneklem çekilmiştir. θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametredir.

Buna göre, θ\theta parametresinin momentler yöntemi tahmin edicisi (θ^MoM\hat{\theta}_{MoM}) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Xˉ1−Xˉ\frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}Answer
  2. B
    1−XˉXˉ\frac{1 - \bar{X}}{\bar{X}}
  3. C
    1Xˉ\frac{1}{\bar{X}}
  4. D
    Xˉ\bar{X}
  5. E
    ∑i=1nXi1−∑i=1nXi\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{1 - \sum_{i=1}^{n} X_i}

Answer

Momentler yöntemi tahmin edicisi Xˉ1−Xˉ\frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}} olarak bulunur.
Momentler yöntemi, dağılıma ait teorik momentlerin ilgili örneklem momentlerine eşitlenmesi esasına dayanır. Çözüm için öncelikle E[X]E[X] hesaplanır. Yoğunluk fonksiyonu f(x)=θxθ−1f(x) = \theta x^{\theta-1} olduğu için E[X]=∫01θxθdx=θθ+1E[X] = \int_0^1 \theta x^\theta dx = \frac{\theta}{\theta+1} olarak bulunur. Momentler yöntemine göre birinci teorik moment, birinci örneklem momentine (örneklem ortalaması olan Xˉ\bar{X}) eşitlenmelidir. θθ+1=Xˉ\frac{\theta}{\theta+1} = \bar{X} denklemi θ\theta için çözüldüğünde; θ=Xˉθ+Xˉ  ⟹  θ(1−Xˉ)=Xˉ\theta = \bar{X}\theta + \bar{X} \implies \theta(1 - \bar{X}) = \bar{X} ve nihayetinde θ^MoM=Xˉ1−Xˉ\hat{\theta}_{MoM} = \frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kitlenin birinci teorik momentini (E[X]E[X]) hesaplamak için olasılık yoğunluk fonksiyonunu xx ile çarparak tanım aralığında integralini alın.
E[X]=∫01x⋅θxθ−1dx=θ∫01xθdxE[X] = \int_{0}^{1} x \cdot \theta x^{\theta-1} dx = \theta \int_{0}^{1} x^{\theta} dx
Momentler yönteminin ilk aşaması, dağılımın kitleye ait teorik momentlerini parametre cinsinden bulmaktır.
2
İntegral işlemini tamamlayın.
E[X]=θ[xθ+1θ+1]01=θθ+1E[X] = \theta \left[ \frac{x^{\theta+1}}{\theta+1} \right]_{0}^{1} = \frac{\theta}{\theta+1}
Belirli integralin sınırları yerine konularak E[X]E[X]'in parametreye bağlı kesin matematiksel ifadesi elde edilir.
3
Birinci teorik momenti (E[X]E[X]), birinci örneklem momentine (m1=Xˉm_1 = \bar{X}) eşitleyin.
θθ+1=Xˉ\frac{\theta}{\theta+1} = \bar{X}
Momentler yönteminin temel prensibi; bilinmeyen parametreleri bulmak için kitle momentlerini, örneklemden hesaplanan karşılık gelen momentlere eşitlemektir.
4
Elde edilen denklemi bilinmeyen θ\theta parametresi için çözerek tahmin ediciyi (θ^\hat{\theta}) bulun.
θ=Xˉ(θ+1)  ⟹  θ−θXˉ=Xˉ  ⟹  θ(1−Xˉ)=Xˉ  ⟹  θ^=Xˉ1−Xˉ\theta = \bar{X}(\theta + 1) \implies \theta - \theta\bar{X} = \bar{X} \implies \theta(1 - \bar{X}) = \bar{X} \implies \hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}
Denklemde tahmin edilecek parametre yalnız bırakılarak momentler yöntemi tahmin edicisinin formülü nihai olarak türetilir.

Key Concept

Momentler Yöntemi ile Parametre Tahmini

Alternative Method

Aynı dağılım için En Çok Olabilirlik Yöntemi (MLE) kullanıldığında, log-olabilirlik fonksiyonu üzerinden türev alınır ve θ^MLE=−n∑ln⁡(Xi)\hat{\theta}_{MLE} = -\frac{n}{\sum \ln(X_i)} elde edilir. Bu durum, aynı parametre için momentler yöntemi ile en çok olabilirlik yönteminin farklı tahmin ediciler verebileceğinin klasik bir göstergesidir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Momentler Yöntemi (Method of Moments)

More questions from this topic