Examkin

Question

Difficulty: Very hardMomentler Yöntemi (Method of Moments)

Bir sigorta şirketinde poliçe sahiplerinin bir yıl içinde yaptıkları kaza sayıları (XX) incelenmektedir. Poliçe sahiplerinin bir kısmı ("çok dikkatli sürücüler", pp olasılığı ile) hiç kaza yapmamakta olup bu gruptan gelen kaza sayısı her zaman sıfırdır. Geriye kalan sürücülerin (1−p1-p olasılığı ile) kaza sayıları ise λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uymaktadır.

Buna göre, XX rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir:
P(X=0)=p+(1−p)e−λP(X = 0) = p + (1 - p)e^{-\lambda}
P(X=x)=(1−p)e−λλxx!,x=1,2,3,…P(X = x) = (1 - p)\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 1, 2, 3, \dots

Rastgele seçilen nn sürücünün kaza sayıları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olduğuna göre, örneklem momentleri M1=XˉM_1 = \bar{X} ve M2=1n∑i=1nXi2M_2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 kullanıldığında, pp ve λ\lambda parametrelerinin momentler yöntemi tahmin edicileri (p~,λ~\tilde{p}, \tilde{\lambda}) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. p~=M2−M1−M12M2−M1,λ~=M2−M1M1\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}Answer
  2. B
    p~=M2−M12M2,λ~=M2M1\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1^2}{M_2}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2}{M_1}
  3. C
    p~=M2−M12−M1M2−M12,λ~=M2−M12\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1^2 - M_1}{M_2 - M_1^2}, \quad \tilde{\lambda} = M_2 - M_1^2
  4. D
    p~=M12M2−M1,λ~=M2−M1M1\tilde{p} = \frac{M_1^2}{M_2 - M_1}, \quad \tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1}
  5. E
    p~=M12+M1−M2M12+M1,λ~=M1\tilde{p} = \frac{M_1^2 + M_1 - M_2}{M_1^2 + M_1}, \quad \tilde{\lambda} = M_1

Answer

Doğru tahmin ediciler p~=M2−M1−M12M2−M1\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1} ve λ~=M2−M1M1\tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1} eşitliklerini veren seçenektir.
Sıfır şişirilmiş (zero-inflated) Poisson dağılımının birinci momenti E[X]=(1−p)λE[X] = (1-p)\lambda ve ikinci momenti E[X2]=(1−p)(λ2+λ)E[X^2] = (1-p)(\lambda^2+\lambda)'dır. Bu teorik momentleri sırasıyla M1M_1 ve M2M_2 örneklem momentlerine eşitleyip elde edilen M1=(1−p)λM_1 = (1-p)\lambda ve M2=(1−p)λ(λ+1)M_2 = (1-p)\lambda(\lambda + 1) denklemleri ortak çözüldüğünde; ikinci denklemin M2=M1(λ+1)M_2 = M_1(\lambda + 1) olarak yazılabilmesiyle λ~=M2−M1M1\tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1} elde edilir. Bu değer ilk denklemde yerine konulduğunda 1−p~=M12M2−M11 - \tilde{p} = \frac{M_1^2}{M_2 - M_1} bulunur ve buradan p~=M2−M1−M12M2−M1\tilde{p} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kitlenin birinci teorik momentini hesapla.
E[X]=p(0)+(1−p)E[Y]=(1−p)λE[X] = p(0) + (1-p)E[Y] = (1-p)\lambda, (burada Y∼Poisson(λ)Y \sim Poisson(\lambda))
Momentler yöntemi için öncelikle kitlenin beklenen değerini parametreler cinsinden bulmalıyız.
2
Kitlenin ikinci teorik momentini hesapla.
E[X2]=p(02)+(1−p)E[Y2]E[X^2] = p(0^2) + (1-p)E[Y^2]. Poisson dağılımı için E[Y2]=Var(Y)+(E[Y])2=λ+λ2E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = \lambda + \lambda^2 olduğundan E[X2]=(1−p)(λ2+λ)E[X^2] = (1-p)(\lambda^2 + \lambda) bulunur.
İki bilinmeyenli (p,λp, \lambda) tahmin işlemi için ikinci momente de ihtiyaç vardır.
3
Teorik momentleri örneklem momentlerine eşitle.
M1=(1−p)λM_1 = (1-p)\lambda ve M2=(1−p)(λ2+λ)M_2 = (1-p)(\lambda^2 + \lambda) denklemleri elde edilir.
Momentler yönteminin temel prensibi örneklem momentlerini (M_k) kitle momentlerine (E[X^k]) eşitlemektir.
4
Denklem sistemini çözerek λ~\tilde{\lambda} tahmin edicisini bul.
İkinci denklem M2=(1−p)λ(λ+1)=M1(λ+1)M_2 = (1-p)\lambda(\lambda + 1) = M_1(\lambda + 1) şeklinde yazılabilir. Buradan λ+1=M2M1\lambda + 1 = \frac{M_2}{M_1} ve λ~=M2−M1M1\tilde{\lambda} = \frac{M_2 - M_1}{M_1} elde edilir.
Birinci denklemi ikinci denklemde yerine koyarak bilinmeyen sayısı teke düşürülür.
5
Bulunan λ~\tilde{\lambda} değerini yerine koyarak p~\tilde{p} tahmin edicisini bul.
1−p=M1λ~=M1(M2−M1)/M1=M12M2−M11 - p = \frac{M_1}{\tilde{\lambda}} = \frac{M_1}{(M_2 - M_1)/M_1} = \frac{M_1^2}{M_2 - M_1}. Buradan p~=1−M12M2−M1=M2−M1−M12M2−M1\tilde{p} = 1 - \frac{M_1^2}{M_2 - M_1} = \frac{M_2 - M_1 - M_1^2}{M_2 - M_1} bulunur.
Birinci denklemden 1−p1-p çekilerek, λ\lambda yerine konur ve pp parametresinin nihai tahmin edicisine ulaşılır.

Key Concept

Sıfır Şişirilmiş (Zero-Inflated) Dağılımlarda Momentler Yöntemi
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Momentler Yöntemi (Method of Moments)

More questions from this topic