Bir tarım araştırma enstitüsünde, yeni geliştirilen bir buğday türünün belirli bir alandak… — KPSS İstatistik

Bir tarım araştırma enstitüsünde, yeni geliştirilen bir buğday türünün belirli bir alandaki verimi (ton) $X$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. Bu verimin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buğday verimine ilişkin $n$ çaplı rastgele bir örneklem alındığında, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (Method of Moments) ile elde edilen tahmin edicisi ( $\hat{\theta}_{MoM}$ ) aşağıdakilerden hangisidir? ( $\bar{X}$ , örneklem ortalamasıdır.)

A
$\frac{2\bar{X}}{3}$
B
$2\bar{X}$
$\frac{3\bar{X}}{2}$ Answer
D
$3\bar{X}$
E
$\sqrt{2\bar{X}}$

Answer

\frac{3\bar{X}}{2}

Momentler yönteminde tahmin edici bulmak için

E[X] = \bar{X}

eşitliği kullanılır. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu için beklenen değer

E[X] = \int_0^\theta x f(x) dx = \int_0^\theta x \left(\frac{2x}{\theta^2}\right) dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{2\theta}{3}

olarak bulunur. Bu değer örneklem ortalaması olan

\bar{X}

'e eşitlendiğinde

\frac{2\theta}{3} = \bar{X}

denklemi elde edilir. Buradan parametre çekildiğinde momentler yöntemi tahmin edicisi

\hat{\theta}_{MoM} = \frac{3\bar{X}}{2}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Kitleye ait birinci momenti (beklenen değeri) hesaplayın.

E[X] = \int_0^\theta x \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{2\theta}{3}

Momentler yönteminde ilk adım, teorik kitle momentlerini bulmaktır.

Birinci kitle momentini birinci örneklem momentine (

\bar{X}

) eşitleyin.

\frac{2\theta}{3} = \bar{X}

Yöntemin temel prensibi, bilinmeyen parametreyi tahmin etmek için

E[X] = \bar{X}

eşitliğini kurmaktır.

Elde edilen denklemde bilinmeyen

\theta

parametresini yalnız bırakın.

\hat{\theta}_{MoM} = \frac{3\bar{X}}{2}

Eşitlikten parametrenin tahmin edicisine matematiksel olarak ulaşılır.

Key Concept

Momentler yöntemi, kitlenin teorik momentleri ile örneklemin ampirik momentlerinin birbirine eşitlenmesi esasına dayanır. Tek parametreli bir dağılım için yalnızca birinci momentlerin (beklenen değer ve örneklem ortalaması) hesaplanıp eşitlenmesi yeterlidir.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic