Examkin

Question

Difficulty: MediumRastgele Değişkenlerin Dönüşümleri (Fonksiyonlarının Dağılımı)

Sürekli bir XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

fX(x)={2x,0<x<10,dig˘er durumlardaf_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, Y=−ln⁡(X)Y = -\ln(X) dönüşümü ile elde edilen YY rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)f_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    fY(y)={2e−y,y>00,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} 2e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
  2. B
    fY(y)={−2e−2y,y>00,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} -2e^{-2y}, & y > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
  3. fY(y)={2e−2y,y>00,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} 2e^{-2y}, & y > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}Answer
  4. D
    fY(y)={2,0<y<10,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} 2, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
  5. E
    fY(y)={2e−2y,0<y<10,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} 2e^{-2y}, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Answer

Doğru cevap, olasılık yoğunluk fonksiyonunun fY(y)=2e−2yf_Y(y) = 2e^{-2y} ve tanım aralığının y>0y > 0 olduğu seçenektir.
Sürekli bir rastgele değişkenin dönüşümü fY(y)=fX(x)⋅∣dx/dy∣f_Y(y) = f_X(x) \cdot |dx/dy| formülüyle (Değişken Değiştirme Yöntemi) hesaplanır. y=−ln⁡(x)  ⟹  x=e−yy = -\ln(x) \implies x = e^{-y} olup, türevin mutlak değeri ∣−e−y∣=e−y|-e^{-y}| = e^{-y} olarak bulunur. Verilen fX(x)=2xf_X(x) = 2x fonksiyonunda xx yerine e−ye^{-y} konulup Jakobiyen ile çarpıldığında 2(e−y)⋅e−y=2e−2y2(e^{-y}) \cdot e^{-y} = 2e^{-2y} elde edilir. Tanım aralığı ise 0<x<10 < x < 1 eşitsizliğinde xx yerine e−ye^{-y} yazılarak 0<e−y<1  ⟹  y>00 < e^{-y} < 1 \implies y > 0 olarak doğru biçimde bulunur.

Step-by-Step Solution

1
y=−ln⁡(x)y = -\ln(x) dönüşümünün tersini bulma.
x=e−yx = e^{-y} elde edilir.
Dönüşüm formülünde eski değişkeni (xx) yeni değişken (yy) cinsinden ifade etmek için.
2
x=e−yx = e^{-y} ifadesinin yy'ye göre türevini alıp mutlak değerini (Jakobiyen) bulma.
dxdy=−e−y  ⟹  ∣J∣=∣−e−y∣=e−y\frac{dx}{dy} = -e^{-y} \implies |J| = |-e^{-y}| = e^{-y} olarak hesaplanır.
Sürekli rastgele değişkenlerde yoğunluk fonksiyonunun dönüşüm kuralı fY(y)=fX(g−1(y))⋅∣J∣f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J| şeklindedir.
3
0<x<10 < x < 1 eşitsizliğinde xx yerine e−ye^{-y} yazarak YY'nin tanım aralığını bulma.
0<e−y<10 < e^{-y} < 1 eşitsizliğinden her iki tarafın logaritması alınarak −∞<−y<0  ⟹  y>0-\infty < -y < 0 \implies y > 0 bulunur.
Dönüşüm sonrasında yeni rastgele değişkenin tanımlı olacağı sınırları belirlemek için.
4
fX(x)=2xf_X(x) = 2x fonksiyonunda xx yerine e−ye^{-y} yazıp ∣J∣|J| ile çarpma.
fY(y)=2(e−y)⋅e−y=2e−2yf_Y(y) = 2(e^{-y}) \cdot e^{-y} = 2e^{-2y} bulunur.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu formülünü tamamlayarak kesin sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri (Fonksiyonlarının Dağılımı)

More questions from this topic