Examkin

Question

Difficulty: HardRastgele Değişkenlerin Dönüşümleri (Fonksiyonlarının Dağılımı)

Sürekli bir XX rastgele değişkeni [−1,2][-1, 2] aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahiptir.

Y=X2Y = X^2 dönüşümü tanımlandığına göre, YY rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu fY(y)f_Y(y) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    fY(y)={16y,0<y<40,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
  2. B
    fY(y)={13y,0<y<40,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
  3. fY(y)={13y,0<y<116y,1≤y<40,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3\sqrt{y}}, & 0 < y < 1 \\ \frac{1}{6\sqrt{y}}, & 1 \leq y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}Answer
  4. D
    fY(y)={13,0<y<40,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & 0 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
  5. E
    fY(y)={2y3,0<y<40,dig˘er durumlardaf_Y(y) = \begin{cases} \frac{2\sqrt{y}}{3}, & 0 < y < 4 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Answer

Doğru cevap, olasılık yoğunluk fonksiyonunun 0<y<10 < y < 1 aralığında 13y\frac{1}{3\sqrt{y}}, 1≤y<41 \le y < 4 aralığında ise 16y\frac{1}{6\sqrt{y}} olarak iki farklı parçada tanımlandığı seçenektir.
Rastgele değişken dönüşümlerinde, Y=X2Y = X^2 gibi monotonik olmayan fonksiyonlar kullanıldığında tanım kümesi alt aralıklara bölünmelidir. X∼U(−1,2)X \sim U(-1, 2) olduğunda fX(x)=1/3f_X(x) = 1/3 olur. y∈(0,1)y \in (0, 1) aralığında y=x2y = x^2 denkleminin XX'in tanım aralığında hem x=−yx = -\sqrt{y} hem de x=yx = \sqrt{y} olmak üzere iki kökü vardır. Bu yüzden yoğunluk fonksiyonu iki dalın toplamı olarak fY(y)=13⋅12y+13⋅12y=13yf_Y(y) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{3\sqrt{y}} bulunur. Ancak y∈(1,4)y \in (1, 4) aralığına sadece x=yx = \sqrt{y} kökü karşılık gelir (−y-\sqrt{y} alt sınırı olan −1-1'i aşar). Bu nedenle bu bölgedeki olasılık yoğunluğu sadece pozitif daldan gelir ve fY(y)=16yf_Y(y) = \frac{1}{6\sqrt{y}} olur.

Step-by-Step Solution

1
X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) yazmak
fX(x)=12−(−1)=13f_X(x) = \frac{1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3} (sınırlar: −1<x<2-1 < x < 2)
Dönüşüm formülünde kullanmak üzere başlangıç dağılımını belirlemek.
2
Y rastgele değişkeninin alabileceği değer aralığını belirlemek
Y=X2Y = X^2 ve X∈[−1,2]X \in [-1, 2] olduğundan, YY'nin tanım aralığı [0,4][0, 4] olur.
Yeni değişkenin sınırlarını ve olasılık kütlesinin yayıldığı bölgeyi doğru tespit etmek.
3
Ters dönüşüm fonksiyonlarını ve Jakobiyen çarpanlarını bulmak
y=x2y = x^2 denkleminin iki olası kökü vardır: x1=−yx_1 = -\sqrt{y} ve x2=yx_2 = \sqrt{y}. Jakobiyen çarpanı ise ∣dx/dy∣=12y|dx/dy| = \frac{1}{2\sqrt{y}} şeklindedir.
Olasılık yoğunluğunu formül yardımıyla yeni değişkene transfer etmek.
4
Y'nin PDF'sini tanım aralıklarına göre parçalı olarak oluşturmak
0<y<10 < y < 1 aralığı için hem −y-\sqrt{y} hem de y\sqrt{y} değerleri [−1,2][-1, 2] içerisindedir. Bu bölgede fY(y)=fX(−y)∣dx1/dy∣+fX(y)∣dx2/dy∣=13yf_Y(y) = f_X(-\sqrt{y})|dx_1/dy| + f_X(\sqrt{y})|dx_2/dy| = \frac{1}{3\sqrt{y}} olur. Ancak 1≤y<41 \le y < 4 için sadece y\sqrt{y} kökü geçerlidir (−y<−1-\sqrt{y} < -1 olur). Bu bölgede fY(y)=fX(y)∣dx2/dy∣=16yf_Y(y) = f_X(\sqrt{y})|dx_2/dy| = \frac{1}{6\sqrt{y}} olarak bulunur.
X'in asimetrik tanım aralığının Y üzerindeki etkisini tam ve matematiksel olarak ifade etmek.

Key Concept

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri ve Jakobiyen Yöntemi
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri (Fonksiyonlarının Dağılımı)

More questions from this topic