Bir X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir: f_X(… — KPSS İstatistik

Bir $X$ sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y = -2\ln(X)$ dönüşümü ile elde edilen $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

Y

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = e^{-y}, \quad y > 0

olarak bulunur. Bu fonksiyon, üstel dağılıma işaret etmektedir.

Doğru seçenekte, tek değişkenli sürekli rastgele değişken dönüşüm kuralı eksiksiz uygulanmıştır. Öncelikle

x = e^{-y/2}

olarak bulunmuş, bu ifadenin

y

'ye göre türevinin mutlak değeri

|dx/dy| = \frac{1}{2}e^{-y/2}

hesaplanmıştır. Verilen

f_X(x) = 2x

fonksiyonunda yerine yazıldığında

f_Y(y) = 2(e^{-y/2}) \cdot \frac{1}{2}e^{-y/2} = e^{-y}

elde edilmiştir.

0 < X < 1

sınırları da

y > 0

olarak doğru güncellenmiştir.

Y = -2\ln(X)

denkleminden

X

değişkenini yalnız bırakma.

-y/2 = \ln(X) \implies X = e^{-y/2}

elde edilir.

Tek değişkenli dönüşüm kuralını (veya CDF yöntemini) uygulamak için ters fonksiyonun bulunması gerekir.

Türev alma ve mutlak değerini hesaplama.

dx/dy = -\frac{1}{2}e^{-y/2}

olur. Mutlak değeri ise

|dx/dy| = \frac{1}{2}e^{-y/2}

olarak bulunur.

Sürekli rastgele değişkenlerde dönüşüm yaparken alanın/olasılığın korunması için türevin mutlak değeri ile çarpılması kuralı vardır.

Y

rastgele değişkeninin tanım aralığını (sınırlarını) belirleme.

0 < X < 1

eşitsizliğinde

X

yerine

e^{-y/2}

yazılırsa:

0 < e^{-y/2} < 1 \implies y > 0

bulunur.

Yeni değişkenin hangi aralıkta olasılık taşıdığını (support) doğru tespit etmek zorunludur.

Dönüşüm formülünü (

f_Y(y) = f_X(v(y)) \cdot |v'(y)|

) uygulama.

f_Y(y) = 2(e^{-y/2}) \cdot (\frac{1}{2}e^{-y/2}) = e^{-y}

elde edilir. Tanım aralığı ile birleşince

f_Y(y) = e^{-y}, \; y > 0

olur.

Tüm bileşenleri bir araya getirerek

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonuna ulaşılır.

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme Yöntemi)

Question