Examkin

Question

Difficulty: MediumGeometrik Yorum ve Diklik (Ortogonallik) Özelliği

İstatistiksel veri bilimi uygulamalarında, yüksek boyutlu bir veri kümesindeki bilgi kaybı en aza indirilerek boyut indirgeme işlemi gerçekleştirilmektedir. Bu amaçla bir araştırmacı, veri yapısının kovaryans matrisinden elde edilen ortogonal (dik) bir matrisi (P\mathbf{P}) kullanarak, Y=PTX\mathbf{Y} = \mathbf{P}^T \mathbf{X} doğrusal dönüşümü ile yeni bileşenler elde etmiştir.

Kullanılan bu P\mathbf{P} dönüşüm matrisinin ortogonal olması (PTP=I\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}), elde edilen yeni yapının geometrisi ve istatistiksel özellikleri açısından aşağıdakilerden hangisini zorunlu kılar?

  1. A
    Bileşenlerin yorumlanmasını basitleştirmek amacıyla, eksenlerin birbirine dik olma zorunluluğunun esnetilerek eğik (oblique) döndürme işlemine tabi tutulabilmesini
  2. B
    Değişkenler arasındaki ilişkinin temelini oluşturan gizil yapının, hata terimlerinden ve spesifik varyanstan arındırılarak sadece ortak varyans üzerinden ifade edilmesini
  3. Yeni oluşturulan eksenlerin çok boyutlu uzayda birbirine dik konumlanmasını ve bu eksenler üzerindeki iz düşümlerin istatistiksel olarak birbiriyle ilişkisiz (korelasyonsuz) olmasınıAnswer
  4. D
    Korelasyon matrisi üzerinden yapılan analizlerde, hesaplanan her bir özdeğerin doğrudan o bileşene ait açıklanan varyans yüzdesine (oranına) eşit olmasını
  5. E
    Dönüşüm işlemi sonucunda orijinal kovaryans matrisinin izinin (trace) ve determinantının büyüklüğünü değiştirerek, toplam varyansın daha az sayıda boyutta özetlenebilmesini

Answer

Doğru seçenek, yeni oluşturulan eksenlerin çok boyutlu uzayda birbirine dik konumlanmasını ve bu eksenler üzerindeki iz düşümlerin istatistiksel olarak birbiriyle ilişkisiz (korelasyonsuz) olmasını ifade eden seçenektir.
Temel Bileşenler Analizi'nde kullanılan dönüşüm matrisinin ortogonal (PTP=I\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}) olması, geometrik olarak oluşturulan yeni koordinat eksenlerinin birbirine tam olarak dik olmasını ifade eder. Bu geometrik diklik durumu, istatistiksel açıdan yeni bileşenlerin birbirinden tamamen bağımsız, yani korelasyonsuz olduğu anlamına gelir. Analizin ana hedefi de zaten aralarında ilişki bulunan orijinal değişkenleri, ilişkisiz yeni bileşenlere dönüştürmektir.

Step-by-Step Solution

1
Matris Dönüşümünün Geometrik Karşılığını İnceleme
Ortogonal bir matris (PTP=I\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}) ile yapılan dönüşüm, bir eksen döndürme işlemi olup, yeni oluşan koordinat eksenlerinin birbirine dik (90 derece açılı) olmasını sağlar.
Temel Bileşenler Analizi'nin amacı varyansın maksimum olduğu yönleri bulmaktır ve bu yönler birbirine dik eksenler olarak tanımlanır.
2
Geometrik Dikliğin İstatistiksel Anlamını Çıkarma
Çok boyutlu uzayda eksenlerin birbirine ortogonal (dik) olması, bu eksenlere karşılık gelen rassal değişkenlerin (temel bileşenlerin) kovaryanslarının ve korelasyonlarının sıfır olacağı anlamına gelir.
Dik eksenler üzerindeki izdüşümler arasında doğrusal bir bağımlılık bulunmaz; bu sayede değişkenler arasındaki çoklu bağlantı problemi çözülmüş olur.

Key Concept

Temel Bileşenler Analizinde Geometrik Dönüşüm ve Ortogonallik
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Geometrik Yorum ve Diklik (Ortogonallik) Özelliği

More questions from this topic