Examkin

Question

Difficulty: HardGeometrik Yorum ve Diklik (Ortogonallik) Özelliği

Çok değişkenli bir veri setinin yapısını daha az sayıda değişkenle açıklamak amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmaktadır. Bu analizde, orijinal pp-boyutlu değişkenler uzayından varyansın maksimize edildiği yeni bir eksen sistemine geçiş yapılır.

TBA'nın geometrik yorumu ve elde edilen bileşenlerin diklik (ortogonallik) özelliği dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. pp-boyutlu uzayda orijinal veriyi çevreleyen sabit yoğunluklu hiper-elipsoidin asal eksenleri, varyans-kovaryans matrisinin özvektörleriyle çakışır ve bu eksenler boyunca tanımlanan temel bileşenler sıfır korelasyona sahiptir.Answer
  2. B
    Elde edilen temel bileşen eksenlerinin birbirine dik olabilmesi ve aralarındaki korelasyonun sıfır kalması için, başlangıç çözümünden sonra Varimax gibi bir dik döndürme (rotasyon) işleminin uygulanması şarttır.
  3. C
    Bir temel bileşenin açıkladığı varyans oranı, o bileşene ait özvektör elemanlarının kareleri toplamının, orijinal varyans-kovaryans matrisinin izine (trace) bölünmesiyle hesaplanır.
  4. D
    Ortogonal dönüşüm sonucunda toplam varyansın değişmeden kalmasının nedeni, dönüşümü sağlayan matrisin determinantının orijinal varyans-kovaryans matrisinin izine eşit olmasıdır.
  5. E
    Temel bileşenler, orijinal değişkenlerin sadece ortak varyanslarını (communality) hesaba katarak ölçüm hatasından arındırılmış gizil (latent) yapıları modelleyen ortogonal vektörlerdir.

Answer

pp-boyutlu uzayda orijinal veriyi çevreleyen sabit yoğunluklu hiper-elipsoidin asal eksenleri, varyans-kovaryans matrisinin özvektörleriyle çakışır ve bu eksenler boyunca tanımlanan temel bileşenler sıfır korelasyona sahiptir.
TBA, veri uzayını yeni bir ortogonal koordinat sistemine taşır. Çok değişkenli normal dağılım varsayımı altında veya genel bir geometrik yorumla, orijinal verinin dağılımı sabit yoğunluklu bir hiper-elipsoid olarak ifade edilir. Bu elipsoidin en uzun ekseninden (en büyük varyans) en kısa eksenine doğru uzanan asal eksenler, orijinal varyans-kovaryans (veya korelasyon) matrisinin özvektörleriyle tamamen aynı yöndedir. Matris cebiri kuralı gereği, simetrik bir varyans-kovaryans matrisinin özvektörleri birbirine diktir (ortogonaldir). Bu geometrik diklik, elde edilen yeni bileşen skorlarının aralarındaki kovaryansın (ve dolayısıyla korelasyonun) sıfır olması sonucunu doğurur. Dolayısıyla doğru seçenek, bu geometrik ve istatistiksel uyumu eksiksiz açıklamaktadır.

Step-by-Step Solution

1
TBA'nın temel geometrik dönüşümünü analiz et.
Orijinal veri seti çok boyutlu uzayda bir elipsoid oluşturur; bu elipsoidin uzunlukları ve yönleri varyans-kovaryans matrisinin spektral ayrışımına bağlıdır.
Geometrik özellikler, varyans-kovaryans matrisinin özdeğer ve özvektörleriyle doğrudan tanımlanır.
2
Özvektörlerin geometrik ve istatistiksel anlamını belirle.
Özvektörler elipsoidin asal eksenlerini oluşturur. Varyans-kovaryans matrisi simetrik olduğu için bu eksenler birbirine diktir (ortogonaldir).
Simetrik matrislerin özvektörleri her zaman ortogonal bir taban oluşturur.
3
Eksenlerin ortogonalliğini bileşenler arası korelasyonla ilişkilendir.
Temel bileşen eksenlerinin birbirine dik olması, bu eksenlere yansıtılan yeni değişkenlerin (temel bileşenlerin) birbiriyle sıfır korelasyona sahip olması anlamına gelir.
Diklik geometrik olarak 90 derecelik açıya, istatistiksel olarak ise sıfır kovaryansa/korelasyona karşılık gelir.

Key Concept

Temel Bileşenler Analizinde Geometrik Dönüşüm ve Ortogonallik
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Geometrik Yorum ve Diklik (Ortogonallik) Özelliği

More questions from this topic