Examkin

Question

Difficulty: EasyDallanma Süreçleri

Bir Galton-Watson dallanma sürecinde, her bir bireyin bir sonraki nesilde oluşturacağı yavru sayısı XX rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. Başlangıçta bir birey (X0=1X_0 = 1) ile başlayan bu sürecin bir nesil sonrasındaki yavru dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx001122
P(X=x)P(X=x)0,50,50,30,30,20,2

Buna göre, bu dallanma sürecinin nihai olarak yok olma (soyunun tükenmesi) olasılığı kaçtır?

  1. 11Answer
  2. B
    0,70,7
  3. C
    0,50,5
  4. D
    0,30,3
  5. E
    00

Answer

Dallanma sürecinin nihai yok olma olasılığı 1'dir.
Dallanma süreçlerinde, bir bireyin ortalama yavru sayısı μ\mu olarak tanımlanır. Eğer μ<1\mu < 1 ise süreç 'alt-kritik' olarak adlandırılır ve bu durumda popülasyonun eninde sonunda yok olması kesin bir olaydır (olasılığı 1'dir). Verilen olasılık dağılımına göre μ=0,7\mu = 0,7 olarak hesaplanmıştır. 0,7<10,7 < 1 olduğu için yok olma olasılığı 1'dir.

Step-by-Step Solution

1
Yavru dağılımının beklenen değerini (μ\mu) hesaplayınız.
μ=E[X]=(0×0,5)+(1×0,3)+(2×0,2)=0+0,3+0,4=0,7\mu = E[X] = (0 \times 0,5) + (1 \times 0,3) + (2 \times 0,2) = 0 + 0,3 + 0,4 = 0,7
Bir dallanma sürecinin karakteristiğini (alt-kritik, kritik, üst-kritik) belirlemek için ortalama yavru sayısı hesaplanmalıdır.
2
Hesaplanan beklenen değeri 11 ile kıyaslayınız.
μ=0,7<1\mu = 0,7 < 1
Beklenen değerin 1'den küçük olması sürecin alt-kritik (subcritical) olduğunu gösterir.
3
Sürecin türüne göre yok olma olasılığını (π\pi) belirleyiniz.
π=1\pi = 1
Alt-kritik (μ<1\mu < 1) ve kritik (μ=1\mu = 1, varyans >0> 0) dallanma süreçlerinde nihai yok olma olasılığı her zaman 1'e eşittir.

Key Concept

Dallanma süreçlerinde yok olma olasılığı, ortalama yavru sayısına (beklenen değer) bağlıdır; eğer μ≤1\mu \leq 1 ise yok olma olasılığı 1'dir.

Practice More

Eğer μ>1\mu > 1 (üst-kritik) olsaydı, yok olma olasılığını bulmak için G(s)=sG(s) = s denkleminin [0,1][0,1] aralığındaki en küçük köküne bakmanız gerekecekti.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Dallanma Süreçleri

More questions from this topic