Bir araştırmacı, iki ekonomik gösterge (X_1, X_2) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla T… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, iki ekonomik gösterge ( $X_1, X_2$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen birinci temel bileşen ( $Y_1$ ) şu doğrusal kombinasyon ile ifade edilmektedir:

Y_1 = cX_1 + 0,6X_2

Bu temel bileşene ait katsayılar vektörünün normalleştirildiği (birim uzunlukta olduğu) ve birinci temel bileşenin açıkladığı varyansın ( $Var(Y_1)$ ) 25 olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $c$ katsayısının pozitif değeri ile kovaryans matrisinin en büyük özdeğeri ( $\lambda_1$ ) aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

A
$c = 0,4$ ; $\lambda_1 = 25$
$c = 0,8$ ; $\lambda_1 = 25$ Answer
C
$c = 0,8$ ; $\lambda_1 = 5$
D
$c = 0,64$ ; $\lambda_1 = 25$
E
$c = 0,8$ ; $\lambda_1 = 625$

Answer

c

katsayısının 0,8 ve en büyük özdeğerin (

\lambda_1

) 25 olduğu seçenek doğrudur.

Temel Bileşenler Analizi'nde, her bir temel bileşeni tanımlayan katsayılar vektörü birim uzunluktadır, yani katsayıların kareleri toplamı 1'e eşittir (

c^2 + 0,6^2 = 1

). Buradan pozitif

c

değeri 0,8 olarak bulunur. Diğer yandan,

i

. temel bileşenin varyansı, veri setinin kovaryans matrisinin

i

. en büyük özdeğerine eşittir (

Var(Y_i) = \lambda_i

). Soruda varyans 25 olarak verildiği için

\lambda_1 = 25

olur.

Step-by-Step Solution

Katsayılar vektörünün normalleştirme (birim uzunluk) özelliğini uygula.

c^2 + (0,6)^2 = 1 \Rightarrow c^2 + 0,36 = 1 \Rightarrow c^2 = 0,64 \Rightarrow c = 0,8

Temel Bileşenler Analizi'nde temel bileşeni oluşturan özvektör katsayılarının kareleri toplamı 1'e eşit olmalıdır.

Temel bileşen varyansı ile özdeğer arasındaki ilişkiyi belirle.

Var(Y_1) = \lambda_1 = 25

Bir temel bileşenin varyansı, kovaryans veya korelasyon matrisinin ilgili özdeğerine (eigenvalue) eşittir.

Elde edilen değerleri birleştir.

c = 0,8

\lambda_1 = 25

Her iki hesaplama sonucu istenen parametreleri sağlar.

Key Concept

Temel Bileşen Varyansı ve Katsayı Normalleştirmesi

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics