Examkin

Question

Difficulty: HardKovaryans ve Korelasyon

Bir sistemin iki farklı sensöründen elde edilen XX ve YY sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y)={1π,x2+y2≤10,dig˘er durumlardaf(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, XX ve YY değişkenlerinin birbirleriyle olan bağımlılık durumu ve aralarındaki kovaryans (Cov(X,Y)Cov(X,Y)) değeri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    Bağımsızdır ve Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0'dır.
  2. B
    Bağımlıdır ve Cov(X,Y)=1πCov(X,Y) = \frac{1}{\pi}'dir.
  3. Bağımlıdır ve Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0'dır.Answer
  4. D
    Bağımsızdır ve Cov(X,Y)=1πCov(X,Y) = \frac{1}{\pi}'dir.
  5. E
    Bağımlıdır ve Cov(X,Y)=1Cov(X,Y) = 1'dir.

Answer

Değişkenlerin tanımlı olduğu bölge dairesel bir alan olduğundan X ve Y bağımlıdır. Ancak alan orijine göre simetrik olduğu için beklenen değerler sıfırlanır ve kovaryans 0 bulunur.
Ortak dağılımın tanımlı olduğu bölge (x2+y2≤1x^2 + y^2 \leq 1) nedeniyle XX ve YY'nin sınırları birbirine bağlıdır, bu yüzden değişkenler bağımlıdır. Bununla birlikte, dağılım bölgesinin orijine göre simetrik bir daire olması sebebiyle E[X]E[X], E[Y]E[Y] ve E[XY]E[XY] beklenen değerleri sıfır olur. Bu matematiksel gerçekler bizi Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0 olduğu ancak değişkenlerin bağımlı olduğu sonucuna götürür.

Step-by-Step Solution

1
Bağımsızlık durumunun incelenmesi.
Değişkenlerin tanımlı olduğu alan x2+y2≤1x^2 + y^2 \leq 1 çembersel bir bölge olduğundan, marjinal sınırları birbirine bağlıdır (YY'nin alabileceği değerler XX'e göre değişir). Ortak tanım kümesi bir kartezyen çarpım (dikdörtgen) olmadığı için XX ve YY bağımlıdır.
Bağımsız değişkenlerin ortak tanımlı oldukları bölge, sınırları sabitten oluşan bir dikdörtgen bölge olmak zorundadır.
2
E[X]E[X] ve E[Y]E[Y] değerlerinin hesaplanması.
E[X]=0E[X] = 0 ve E[Y]=0E[Y] = 0.
Ortak dağılım bölgesi ve olasılık yoğunluk fonksiyonu xx ve yy eksenlerine göre simetriktir. Değişkenlerin kendisi tek fonksiyon olduğundan simetrik bölgedeki integralleri sıfıra eşittir.
3
E[XY]E[XY] değerinin hesaplanması.
E[XY]=0E[XY] = 0.
xyxy çarpımı da eksenlerin her ikisine göre tek fonksiyon karakteri taşır. Dört bölgenin (çeyrek daireler) alanları eşit ve işaretleri birbirini götürecek şekilde dağıldığından toplam integral sıfır olur.
4
Kovaryansın hesaplanması.
Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=0−(0×0)=0Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - (0 \times 0) = 0.
Kovaryans tanım formülü uygulanır.

Key Concept

Bağımlı olan iki rastgele değişkenin arasındaki ilişkinin doğrusal olmaması durumunda (örneğin dairesel bir ilişki) kovaryanslarının ve korelasyonlarının sıfır çıkabilmesi kuralı.

Alternative Method

Matematiksel tanım gereği fX(x)f_X(x) ve fY(y)f_Y(y) marjinal yoğunluk fonksiyonları ayrı ayrı hesaplanarak, f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) eşitliğinin sağlanmadığı doğrudan gösterilebilir. Ancak tanım bölgesinin çember yapısı gereği hiçbir işlem yapmadan sınır koşullarından bağımlılık analizi yapmak zamandan tasarruf sağlar.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kovaryans ve Korelasyon

More questions from this topic