Bir kamu kurumunda yürütülen bölgesel kalkınma araştırmasında, iki farklı ilçenin yıllık e… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda yürütülen bölgesel kalkınma araştırmasında, iki farklı ilçenin yıllık ekonomik büyüme oranları sırasıyla $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Yapılan istatistiksel analizler sonucunda bu değişkenlerin varyansları $Var(X) = 16$ ve $Var(Y) = 9$ olarak hesaplanmış, ayrıca iki ilçe arasındaki büyüme korelasyon katsayısı $\rho_{X,Y} = 0.25$ olarak bulunmuştur.

Çalışma kapsamında, istatistiksel analizleri farklı bir boyutta incelemek amacıyla iki yeni bileşik endeks tanımlanmıştır:
• Birinci Endeks: $U = 3X + 4Y$
• İkinci Endeks: $V = 3X - 4Y$

Bu bilgilere göre, $U$ ve $V$ endeksleri arasındaki ilişkiyle (kovaryans ve bağımsızlık durumu) ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A
$Cov(U, V) = 0$ 'dır ve kovaryansın sıfır çıkması $U$ ile $V$ 'nin birbirinden bağımsız değişkenler olduğunu garanti eder.
$Cov(U, V) = 0$ 'dır ancak $U$ ile $V$ 'nin bağımsız olup olmadığı bu bilgilerle kesin olarak söylenemez.Answer
C
$Cov(U, V) = 288$ 'dir ve bu iki endeks arasında pozitif yönlü doğrusal bir ilişki bulunmaktadır.
D
$Cov(U, V) = 0$ 'dır ve bu sonuç, $U$ ile $V$ 'nin ayrık (kesişimi boş küme olan) olaylara dayandığını ifade eder.
E
$Cov(U, V) = 12$ 'dir ve bu iki endeks arasında pozitif yönlü doğrusal bir ilişki bulunmaktadır.

Answer

Hesaplamalar sonucunda kovaryansın sıfır olduğu bulunur; ancak kovaryansın sıfır olması, değişkenlerin bağımsız olduğunu garanti etmediğinden bağımsızlık durumu kesin olarak söylenemez.

Kovaryansın bilineerlik özelliği kullanılarak

Cov(3X+4Y, 3X-4Y)

ifadesi açıldığında, çapraz terimler (

-12Cov(X,Y)

+12Cov(X,Y)

) birbirini yok eder. Geriye

9Var(X) - 16Var(Y)

kalır. Verilen varyans değerleri yerine konulduğunda sonuç 0 çıkar. Ancak istatistik teorisinde kovaryansın (veya korelasyonun) sıfır olması, değişkenler arasında yalnızca 'doğrusal' bir ilişki olmadığını gösterir. Değişkenlerin ortak dağılımının çok değişkenli normal olduğu belirtilmedikçe, sıfır kovaryans kesinlikle bağımsızlık anlamına gelmez.

Step-by-Step Solution

Cov(U, V)

ifadesini doğrusal bileşenlerine ayırarak yazın.

Cov(3X + 4Y, 3X - 4Y) = Cov(3X, 3X) + Cov(3X, -4Y) + Cov(4Y, 3X) + Cov(4Y, -4Y)

Kovaryansın bilineer (iki doğrusal) olma özelliğini kullanarak terimleri parçalamak işlemin temelidir.

Katsayıları dışarı çıkarın ve varyans eşitliklerini düzenleyin.

= (3)(3)Cov(X,X) + (3)(-4)Cov(X,Y) + (4)(3)Cov(Y,X) + (4)(-4)Cov(Y,Y)

= 9Var(X) - 12Cov(X,Y) + 12Cov(X,Y) - 16Var(Y)

Kovaryans formülünde sabit katsayılar çarpım olarak dışarı çıkar ve

Cov(X,X) = Var(X)

'tir. Ayrıca simetri özelliğinden dolayı

Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

'tir.

Birbirini götüren terimleri sadeleştirin ve bilinen değerleri yerine koyun.

-12Cov(X,Y)

+12Cov(X,Y)

birbirini götürür.
Geriye

9Var(X) - 16Var(Y)

kalır.

9(16) - 16(9) = 144 - 144 = 0

bulunur.

Çapraz terimlerin birbirini yok etmesi nedeniyle, soruda verilen

\rho_{X,Y} = 0.25

bilgisini kullanarak

Cov(X,Y)

hesaplamaya gerek kalmadan sonuca ulaşılır.

Elde edilen 0 değerini istatistiksel bağımsızlık kavramı açısından yorumlayın.

Cov(U, V) = 0

çıktı. Bu durum aralarında doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir, ancak değişkenlerin bağımsız olduğunu kesin olarak kanıtlamaz.

Kovaryans yalnızca doğrusal ilişkinin ölçüsüdür. Bağımsız olan değişkenlerin kovaryansı her zaman 0'dır, fakat kovaryansı 0 olan değişkenler (örneğin

Y=X^2

gibi doğrusal olmayan bir ilişkiye sahipseler) bağımlı olabilirler.

Key Concept

Kovaryansın Doğrusal Özellikleri ve Bağımsızlık İlişkisi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic