Bir istatistiksel çalışma kapsamında, iki değişkenli bir veri setine Temel Bileşenler Anal… — KPSS İstatistik

Bir istatistiksel çalışma kapsamında, iki değişkenli bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Elde edilen birinci temel bileşen $Y_1 = 0,8 X_1 + 0,6 X_2$ doğrusal kombinasyonu ile ifade edilmektedir. Analize temel oluşturan varyans-kovaryans matrisinin en büyük özdeğeri $\lambda_1 = 25$ olduğuna göre, bu birinci temel bileşenin varyansı [ $Var(Y_1)$ ] aşağıdakilerden hangisidir?

A
$1$
B
$15$
C
$20$
$25$ Answer
E
$625$

Answer

Birinci temel bileşenin varyansı

25

değerine eşittir.

Temel Bileşenler Analizi'nde (TBA), her bir temel bileşen orijinal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak elde edilir. Bu bileşenlerin en önemli özelliği, varyanslarının ilgili varyans-kovaryans matrisinin özdeğerlerine (

\lambda_j

) eşit olmasıdır. Soruda katsayılar vektörü normalize olan (

0,8^2 + 0,6^2 = 1

) birinci temel bileşen için en büyük özdeğerin

25

olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla,

Var(Y_1) = \lambda_1 = 25

eşitliği gereği doğru cevap

25

olur.

Step-by-Step Solution

Temel bileşen varyansı ile özdeğer arasındaki teorik ilişki belirlenir.

Var(Y_j) = \lambda_j

Temel Bileşenler Analizi teorisine göre, katsayılar vektörü normalize edilmiş (birim uzunlukta) olan bir temel bileşenin varyansı, o bileşene karşılık gelen özdeğere eşittir.

Soruda verilen birinci temel bileşen için en büyük özdeğer değeri işleme alınır.

Var(Y_1) = 25

Varyans-kovaryans matrisinin en büyük özdeğeri

\lambda_1 = 25

olarak verildiğinden, bu değer doğrudan birinci temel bileşenin varyansını ifade eder.

Key Concept

Temel bileşen varyansının ilgili özdeğere eşitliği (

Var(Y_j) = \lambda_j

)

Alternative Method

Varyans tanımından gidilerek

Var(0,8 X_1 + 0,6 X_2) = [0,8 \quad 0,6] \Sigma [0,8 \quad 0,6]^T

işlemi yapılabilir.

\Sigma \mathbf{a}_1 = \lambda_1 \mathbf{a}_1

özdeğer denklemi yerine yazıldığında sonuç

\lambda_1 (0,8^2 + 0,6^2) = \lambda_1 \times 1 = 25

olarak teyit edilir.

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics