Examkin

Question

Difficulty: HardCramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

Bir üretim sürecinde, üretilen bilyelerin çaplarının hedef değerden sapmaları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu sapmaların ortalaması sıfır (00) ve varyansı θ\theta olan normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Kalite kontrol birimi, sürecin standart sapmasını (g(θ)=θg(\theta) = \sqrt{\theta}) tahmin etmek için yansız bir tahmin edici kullanacaktır.

Buna göre, standart sapma için kullanılacak bu yansız tahmin edicinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2θ2n\frac{2\theta^2}{n}
  2. B
    θn\frac{\theta}{n}
  3. θ2n\frac{\theta}{2n}Answer
  4. D
    θ22n\frac{\theta^2}{2n}
  5. E
    12nθ\frac{1}{2n\theta}

Answer

Standart sapma tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı θ/(2n)\theta / (2n)'dir.
Sıfır ortalamalı ve θ\theta varyanslı normal dağılım için tek bir gözlemin Fisher bilgi miktarı 1/(2θ2)1/(2\theta^2), nn çaplı örneklem için ise In(θ)=n/(2θ2)I_n(\theta) = n/(2\theta^2)'dir. Soruda istenen tahmin edici, θ\theta'nın bir fonksiyonu olan g(θ)=θg(\theta) = \sqrt{\theta} (standart sapma) içindir. Dönüştürülmüş parametre için Cramer-Rao alt sınırı formülü [g′(θ)]2/In(θ)[g'(\theta)]^2 / I_n(\theta) şeklindedir. Türevin karesi 1/(4θ)1/(4\theta) olarak bulunur ve Fisher bilgi miktarına bölündüğünde doğru sınır θ/(2n)\theta/(2n) olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Log-olabilirlik fonksiyonunu yazıp θ\theta'ya göre birinci ve ikinci türevleri alma.
∂2∂θ2ln⁡f(x;θ)=12θ2−x2θ3\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f(x;\theta) = \frac{1}{2\theta^2} - \frac{x^2}{\theta^3}
Fisher bilgi miktarını hesaplayabilmek için yoğunluk fonksiyonunun logaritmasının ikinci türevine ihtiyaç vardır.
2
Fisher bilgi miktarını (In(θ)I_n(\theta)) hesaplama.
In(θ)=−nE[12θ2−X2θ3]=n2θ2I_n(\theta) = -n E\left[\frac{1}{2\theta^2} - \frac{X^2}{\theta^3}\right] = \frac{n}{2\theta^2}
Orijinal dağılımın N(0,θ)N(0, \theta) olması nedeniyle E[X2]=θE[X^2] = \theta olduğu kullanılarak tüm örneklemin içerdiği bilgi miktarı belirlenir.
3
Standart sapma fonksiyonunun (g(θ)=θg(\theta) = \sqrt{\theta}) türevini hesaplama.
g′(θ)=12θg'(\theta) = \frac{1}{2\sqrt{\theta}}
Tahmin edilen değer parametrenin kendisi değil bir fonksiyonu olduğu için Cramer-Rao formülüne dönüşüm faktörü eklenmelidir.
4
Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) formülünü uygulama.
CRLB=[g′(θ)]2In(θ)=1/(4θ)n/(2θ2)=θ2nCRLB = \frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{1/(4\theta)}{n/(2\theta^2)} = \frac{\theta}{2n}
Herhangi bir yansız tahmin edicinin varyansının alabileceği en küçük değer bu şekilde bulunur.

Key Concept

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Parametre Fonksiyonlarının Tahmini
Rate this question

Topics

Cramer-Rao Eşitsizliği ve Alt Sınırı

More questions from this topic