Examkin

Question

Difficulty: HardMatrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

X\mathbf{X}, n×kn \times k boyutlu ve tam sütun ranka sahip bir matris olmak üzere,

P=X(XTX)−1XT \mathbf{P} = \mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T

şeklinde bir matris tanımlanıyor.

Buna göre, A=3P−2In\mathbf{A} = 3\mathbf{P} - 2\mathbf{I}_n eşitliği ile verilen A\mathbf{A} matrisi için tr(A2)tr(\mathbf{A}^2) (matrisin karesinin izi) ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? (In\mathbf{I}_n, n×nn \times n boyutlu birim matristir.)

  1. 4n−3k4n - 3kAnswer
  2. B
    4n+9k4n + 9k
  3. C
    3k−2n3k - 2n
  4. D
    n+3kn + 3k
  5. E
    9k−4n9k - 4n

Answer

4n−3k4n - 3k ifadesini veren seçenektir.
Verilen P\mathbf{P} matrisi, çoklu doğrusal regresyon ve çok değişkenli analizlerde şapka matrisi (hat matrix) olarak da bilinen bir dik izdüşüm matrisidir. İz operatörünün döngüsel özelliği olan tr(AB)=tr(BA)tr(\mathbf{A}\mathbf{B}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{A}) kuralı kullanıldığında, tr(P)=tr((XTX)−1XTX)=tr(Ik)=ktr(\mathbf{P}) = tr((\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{X}) = tr(\mathbf{I}_k) = k bulunur. Ayrıca izdüşüm matrisleri idempotent olduğundan P2=P\mathbf{P}^2 = \mathbf{P} eşitliği geçerlidir. İstenen A2\mathbf{A}^2 matrisi (3P−2In)2=9P2−12P+4In(3\mathbf{P} - 2\mathbf{I}_n)^2 = 9\mathbf{P}^2 - 12\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n şeklinde açılır. İdempotentlik kullanılarak bu ifade −3P+4In-3\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n hâline getirilir. İzin lineer özelliği uygulandığında sonuç −3(k)+4(n)=4n−3k-3(k) + 4(n) = 4n - 3k olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İzin döngüsel (cyclic) özelliğini kullanarak P\mathbf{P} matrisinin izini hesapla.
tr(P)=tr(X(XTX)−1XT)=tr((XTX)−1XTX)=tr(Ik)=ktr(\mathbf{P}) = tr(\mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T) = tr((\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{X}) = tr(\mathbf{I}_k) = k
tr(AB)=tr(BA)tr(\mathbf{A}\mathbf{B}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{A}) kuralı gereği, matris çarpımlarının sırası izin sonucunu değiştirmez.
2
P\mathbf{P} matrisinin idempotent (dik izdüşüm) özelliğini kanıtla.
P2=(X(XTX)−1XT)(X(XTX)−1XT)=X(XTX)−1(XTX)(XTX)−1XT=P\mathbf{P}^2 = (\mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T)(\mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T) = \mathbf{X}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}(\mathbf{X}^T\mathbf{X})(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T = \mathbf{P}
Karesinin izini bulmak için P2\mathbf{P}^2 teriminin sadeleştirilmesi gerekmektedir.
3
A2\mathbf{A}^2 matrisinin cebirsel açılımını yap ve P2=P\mathbf{P}^2 = \mathbf{P} eşitliğini yerine koy.
A2=(3P−2In)2=9P2−12P+4In=9P−12P+4In=−3P+4In\mathbf{A}^2 = (3\mathbf{P} - 2\mathbf{I}_n)^2 = 9\mathbf{P}^2 - 12\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n = 9\mathbf{P} - 12\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n = -3\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n
Trase işlemi öncesinde matris polinomunun en sade formuna getirilmesi hesaplamayı kolaylaştırır.
4
İz operatörünün doğrusal (lineer) toplam ve skalerle çarpım özelliklerini uygulayarak sonucu bul.
tr(A2)=tr(−3P+4In)=−3tr(P)+4tr(In)=−3(k)+4(n)=4n−3ktr(\mathbf{A}^2) = tr(-3\mathbf{P} + 4\mathbf{I}_n) = -3 tr(\mathbf{P}) + 4 tr(\mathbf{I}_n) = -3(k) + 4(n) = 4n - 3k
Bir matris toplamının izi, izlerin toplamına ve skaler çarpımın izi, izin skalerle çarpımına eşittir.

Key Concept

İzin Döngüsel Özelliği ve İdempotent Matrislerde İz İşlemleri
Rate this question

Topics

Matrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

More questions from this topic