Examkin

Question

Difficulty: HardMatrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

A\mathbf{A}, 3×33 \times 3 boyutlu bir kare matris olmak üzere, bu matrisin izi tr(A)=5\text{tr}(\mathbf{A}) = 5 ve karesinin izi tr(A2)=15\text{tr}(\mathbf{A}^2) = 15 olarak verilmiştir.

Buna göre, B=(A−2I3)2\mathbf{B} = (\mathbf{A} - 2\mathbf{I}_3)^2 eşitliği ile tanımlanan B\mathbf{B} matrisinin izi aşağıdakilerden hangisidir? (Burada I3\mathbf{I}_3, 3×33 \times 3 boyutlu birim matrisi ifade etmektedir.)

  1. A
    -1
  2. B
    1
  3. C
    3
  4. 7Answer
  5. E
    11

Answer

Doğru yanıt 7'dir.
Doğru sonuca ulaşmak için iz (trace) operatörünün doğrusallık özelliğinin doğru bilinmesi gerekmektedir. (A−2I3)2(\mathbf{A} - 2\mathbf{I}_3)^2 matrisi cebirsel olarak açıldığında A2−4A+4I3\mathbf{A}^2 - 4\mathbf{A} + 4\mathbf{I}_3 elde edilir. İz operatörü toplamaya dağıldığında ifade tr(A2)−4tr(A)+tr(4I3)\text{tr}(\mathbf{A}^2) - 4\text{tr}(\mathbf{A}) + \text{tr}(4\mathbf{I}_3) biçimine dönüşür. Soruda verilen değerler yerine konulur ve 3×33 \times 3 boyutundaki 4I34\mathbf{I}_3 matrisinin izi 4×3=124 \times 3 = 12 olarak hesaplanır. Böylece sonuç 15−4(5)+12=715 - 4(5) + 12 = 7 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
(A−2I3)2(\mathbf{A} - 2\mathbf{I}_3)^2 ifadesini matris cebiri kurallarına göre açmak.
B=A2−2A(2I3)+(2I3)2=A2−4A+4I3\mathbf{B} = \mathbf{A}^2 - 2\mathbf{A}(2\mathbf{I}_3) + (2\mathbf{I}_3)^2 = \mathbf{A}^2 - 4\mathbf{A} + 4\mathbf{I}_3
İz operatörünün doğrusallığını (toplama ve çıkarma üzerine dağılmasını) kullanabilmek için karesel polinomun açık hali gereklidir.
2
Eşitliğin her iki tarafının izini (trace) almak ve iz operatörünün doğrusallık özelliğini uygulamak.
tr(B)=tr(A2)−tr(4A)+tr(4I3)=tr(A2)−4tr(A)+tr(4I3)\text{tr}(\mathbf{B}) = \text{tr}(\mathbf{A}^2) - \text{tr}(4\mathbf{A}) + \text{tr}(4\mathbf{I}_3) = \text{tr}(\mathbf{A}^2) - 4\text{tr}(\mathbf{A}) + \text{tr}(4\mathbf{I}_3)
tr(X+Y)=tr(X)+tr(Y)\text{tr}(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) = \text{tr}(\mathbf{X}) + \text{tr}(\mathbf{Y}) ve tr(cX)=ctr(X)\text{tr}(c\mathbf{X}) = c\text{tr}(\mathbf{X}) matris izi özellikleri uygulanmıştır.
3
Birim matrisin skaler ile çarpımının izini hesaplamak.
tr(4I3)=4×tr(I3)=4×3=12\text{tr}(4\mathbf{I}_3) = 4 \times \text{tr}(\mathbf{I}_3) = 4 \times 3 = 12
n×nn \times n boyutlu bir birim matrisin köşegen elemanlarının toplamı nn'dir. Sabit skaler bir sayı ile çarpıldığında izi c×nc \times n olur.
4
Soruda verilen bilinen değerleri formülde yerine koymak.
tr(B)=15−4(5)+12=15−20+12=7\text{tr}(\mathbf{B}) = 15 - 4(5) + 12 = 15 - 20 + 12 = 7
tr(A)=5\text{tr}(\mathbf{A}) = 5 ve tr(A2)=15\text{tr}(\mathbf{A}^2) = 15 değerleri yerine yazılarak denklem çözülür ve nihai sonuç elde edilir.

Key Concept

İz (Trace) Operatörünün Doğrusallığı ve Birim Matrisin İzi

Alternative Method

Matrisin izi, o matrisin özdeğerlerinin toplamına eşittir. A\mathbf{A} matrisinin özdeğerleri λi\lambda_i olsun. Verilenlere göre ∑λi=5\sum \lambda_i = 5 ve ∑λi2=15\sum \lambda_i^2 = 15 olur. B=(A−2I3)2\mathbf{B} = (\mathbf{A} - 2\mathbf{I}_3)^2 matrisinin özdeğerleri ise (λi−2)2(\lambda_i - 2)^2 şeklindedir. B\mathbf{B} matrisinin izi bu özdeğerlerin toplamı olacaktır: tr(B)=∑(λi−2)2=∑(λi2−4λi+4)=∑λi2−4∑λi+∑4\text{tr}(\mathbf{B}) = \sum (\lambda_i - 2)^2 = \sum (\lambda_i^2 - 4\lambda_i + 4) = \sum \lambda_i^2 - 4\sum \lambda_i + \sum 4. Burada 3×33 \times 3 boyutlu matris olduğu için son terim 3×4=123 \times 4 = 12 olur. Değerleri yerine koyduğumuzda 15−4(5)+12=715 - 4(5) + 12 = 7 sonucu bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Matrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

More questions from this topic