\mathbf{A}, \mathbf{B} ve \mathbf{C} matrisleri n \times n boyutlu kare matrisler ve c bir… — KPSS İstatistik

$\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ ve $\mathbf{C}$ matrisleri $n \times n$ boyutlu kare matrisler ve $c$ bir skaler (gerçel sayı) olmak üzere, matrisin izi (trace) ile ilgili aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. $tr(\mathbf{A}\mathbf{B}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{A})$
II. $tr(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{C})$
III. $tr(c\mathbf{A}) = c^n \cdot tr(\mathbf{A})$
IV. $\mathbf{A}$ matrisinin özdeğerlerinin toplamı, $tr(\mathbf{A})$ değerine eşittir.

Buna göre, yukarıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

I ve IVAnswer
B
Yalnız I
C
I, II ve IV
D
I, III ve IV
E
II ve III

Answer

I ve IV numaralı ifadeler her zaman doğrudur.

I. ifade, iz operatörünün ikili çarpımlardaki değişme (döngüsel) özelliğini, IV. ifade ise iz ile özdeğerler arasındaki temel doğrusal cebir eşitliğini hatasız yansıtmaktadır. II. ifade yanlıştır çünkü üçlü matris çarpımlarında sadece döngüsel sıralamalar birbirine eşittir, rastgele bir değişme özelliği yoktur. III. ifade ise iz operatörü yerine determinant özelliğini (

det(c\mathbf{A}) = c^n det(\mathbf{A})

) kullandığı için hatalıdır.

Step-by-Step Solution

I. ifadenin doğruluğunu kontrol etme

tr(\mathbf{A}\mathbf{B}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{A})

özelliği daima sağlanır, ifade doğrudur.

İz operatörü matris çarpımında yer değiştirme (döngüsel kaydırma) özelliğine sahiptir.

II. ifadenin doğruluğunu değerlendirme

tr(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C})

her zaman

tr(\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{C})

değerine eşit olmaz, ifade yanlıştır.

Üçlü çarpımlarda iz işlemi sadece döngüsel kaydırmalarda eşittir (

tr(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}) = tr(\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{A}) = tr(\mathbf{C}\mathbf{A}\mathbf{B})

\mathbf{A}

\mathbf{B}

rastgele yer değiştiremez.

III. ifadenin doğruluğunu inceleme

Eşitlik

tr(c\mathbf{A}) = c \cdot tr(\mathbf{A})

şeklinde olmalıdır, ifade yanlıştır.

Skaler bir değer izin dışına kendisi olarak çıkar;

c^n

çarpanı determinant işlemi (

det(c\mathbf{A}) = c^n \cdot det(\mathbf{A})

) için geçerlidir.

IV. ifadenin doğruluğunu belirleme

İfade her zaman doğrudur.

Bir matrisin izi (esas köşegen elemanlarının toplamı), matematiksel tanımı gereği özdeğerlerinin toplamına eşittir.

Key Concept

Matrisin İzi (Trace) ve Özellikleri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic