Examkin

Question

Difficulty: MediumPoisson Dağılımı

Bir devlet arşivinde yürütülen dijitalleştirme çalışmalarında, incelenen her 100 sayfalık belgede ortalama 4 adet okunamayan kelime tespit edilmektedir. Okunamayan kelime sayısının Poisson dağılımına uygun olduğu bilinmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen 50 sayfalık bir belge bölümünde bulunacak okunamayan kelime sayısının varyansı (VV) ile bu bölümde tam olarak 3 adet okunamayan kelime bulunma olasılığı (PP) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

  1. V=2V = 2, P=43e−2\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}Answer
  2. B
    V=4V = 4, P=323e−4\quad P = \frac{32}{3}e^{-4}
  3. C
    V=1V = 1, P=43e−2\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}
  4. D
    V=2V = 2, P=5e−2\quad P = 5e^{-2}
  5. E
    V=4V = 4, P=43e−2\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}

Answer

Doğru değerler V=2V = 2 ve P=43e−2P = \frac{4}{3}e^{-2} şeklindedir.
Poisson dağılımında parametre λ\lambda, incelenen aralıkla orantılıdır. 100 sayfada ortalama 4 hata varsa, 50 sayfada λ=2\lambda = 2 hata beklenir. Poisson dağılımının varyansı daima λ\lambda'ya eşittir, bu nedenle V=2V = 2 olur. Olasılık kütle fonksiyonunda P(X=3)=e−λ⋅λxx!P(X = 3) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!} formülüne değerler yerleştirildiğinde e−2⋅233!=86e−2=43e−2\frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{8}{6}e^{-2} = \frac{4}{3}e^{-2} sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İstenen birim ölçü için λ\lambda (ortalama) parametresinin ölçeklendirilmesi
50 sayfalık bölüm için yeni ortalama λ=4×50100=2\lambda = 4 \times \frac{50}{100} = 2 olarak bulunur.
Poisson dağılımında ortalama değer, incelenen aralığın (zaman, alan, sayfa sayısı vb.) büyüklüğü ile doğru orantılı olarak değişir.
2
Poisson dağılımının özellikleri kullanılarak varyansın hesaplanması
Varyans (VV) = Beklenen Değer (λ\lambda) olduğundan V=2V = 2 elde edilir.
Poisson dağılımının en temel özelliklerinden biri ortalamasının ve varyansının her zaman λ\lambda parametresine eşit olmasıdır.
3
Poisson olasılık kütle fonksiyonu kullanılarak tam olarak 3 hata bulunma olasılığının (PP) hesaplanması
P(X=3)=e−2⋅233!=8e−26=43e−2P(X = 3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{8e^{-2}}{6} = \frac{4}{3}e^{-2} sonucu bulunur.
Kesikli bir değişken olan Poisson için nokta olasılığı P(X=x)=e−λ⋅λxx!P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!} formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Poisson dağılımında birim orantılaması (ölçekleme) ve beklenen değer-varyans eşitliği
Rate this question

Topics

Poisson Dağılımı

More questions from this topic