Bir kamu araştırma merkezinde, belirli bir projeye ayrılan günlük mesai süresinin tam güne… — KPSS İstatistik

Bir kamu araştırma merkezinde, belirli bir projeye ayrılan günlük mesai süresinin tam güne oranı $X$ ve diğer idari işlere ayrılan sürenin oranı $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,

f(x,y) = \begin{cases} 24xy, & x > 0, y > 0, x+y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

şeklinde verilmiştir.

Belirli bir günde idari işlere günün $\frac{1}{4}$ 'ünün ( $Y = \frac{1}{4}$ ) ayrıldığı bilindiğine göre, projeye ayrılan sürenin beklenen değeri kaçtır?

$\frac{1}{2}$ Answer
B
$\frac{2}{5}$
C
$\frac{27}{32}$
D
$\frac{2}{3}$
E
$\frac{1}{32}$

Answer

\frac{1}{2}

Koşullu beklenen değeri bulmak için önce koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_{X|Y}(x|1/4)

bulunmalıdır. Bunun için öncelikle

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

x

'e göre integral alınarak (sınırlar

0

ile

1-y

arasında)

f_Y(y) = 12y(1-y)^2

olarak bulunur.

Y=1/4

değeri formülde yerine yazıldığında

f_Y(1/4) = 27/16

elde edilir. Ortak yoğunluk fonksiyonunda

Y=1/4

yazılıp, marjinal olasılık değerine bölündüğünde koşullu fonksiyon

f_{X|Y}(x|1/4) = \frac{32}{9}x

(burada

0 < x < 3/4

) olur. Beklenen değer için bu fonksiyon

x

ile çarpılarak

0

ile

3/4

arasında integre edilir ve sonucun

1/2

olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) bulmak.

f_Y(y) = \int_{0}^{1-y} 24xy dx = 24y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1-y} = 12y(1-y)^2

Koşullu yoğunluk fonksiyonunu elde edebilmek için

f(x,y)

değerini paydaya yazılacak olan marjinal fonksiyona bölmeliyiz.

x+y<1

olduğundan üst sınır

1-y

alınmıştır.

Y = 1/4

koşulundaki marjinal yoğunluk değerini hesaplamak.

f_Y(\frac{1}{4}) = 12(\frac{1}{4})(1 - \frac{1}{4})^2 = 3(\frac{9}{16}) = \frac{27}{16}

Koşul ifadesinde paydada yer alacak kesin sayısal değeri bulmak için

y

yerine

1/4

yazılır.

X

'in

Y = 1/4

verildiğindeki koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_{X|Y}(x|\frac{1}{4})

) bulmak.

f_{X|Y}(x|\frac{1}{4}) = \frac{f(x, 1/4)}{f_Y(1/4)} = \frac{24x(1/4)}{27/16} = \frac{6x}{27/16} = \frac{32}{9}x

X

'in yeni dağılımını ifade eden fonksiyonu elde etmek için Bayes kuralının sürekli değişken formunu uygularız. Aralığımız

x + \frac{1}{4} < 1 \implies 0 < x < \frac{3}{4}

olur.

Koşullu beklenen değeri (

E[X|Y=1/4]

) hesaplamak.

E[X|Y=1/4] = \int_{0}^{3/4} x \cdot \frac{32}{9}x dx = \frac{32}{9} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3/4} = \frac{32}{27} \cdot \frac{27}{64} = \frac{1}{2}

Sürekli rastgele değişkenlerde beklenen değer formülü olan

E[X] = \int x \cdot f(x) dx

denklemi, bulunan koşullu fonksiyon ve sınırlarla uygulanır.

Key Concept

İki sürekli rastgele değişken için koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu bularak koşullu beklenen değeri integral ile hesaplama.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics