Examkin

Question

Difficulty: EasyKoşullu Beklenen Değer ve Koşullu Varyans

Bir kamu kurumunda düzenlenen hizmet içi eğitim programında, katılımcıların tamamladıkları eğitim modülü sayısı (YY) ile bu modüller sonucunda kazandıkları uzmanlık sertifikası sayısı (XX) arasındaki ilişkiyi gösteren ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Y∖XY \setminus X12
10,100,30
20,200,40

Buna göre, bir katılımcının 1 modül tamamladığı (Y=1Y=1) bilindiğine göre, kazandığı sertifika sayısının beklenen değeri (E[X∣Y=1]E[X|Y=1]) kaçtır?

  1. A
    0,70
  2. B
    1,50
  3. C
    1,70
  4. 1,75Answer
  5. E
    1,60

Answer

Personelin 1 modül tamamladığı bilindiğinde, sertifika sayısının beklenen değeri 1,75'tir.
Verilen tabloda Y=1Y=1 satırı incelendiğinde, bu durumun toplam olasılığı 0,40 olarak bulunur. Bu satırdaki her bir değerin (0,10 ve 0,30) toplam satır olasılığına bölünmesiyle elde edilen 0,25 ve 0,75 olasılıkları, XX değişkeninin değerleri olan 1 ve 2 ile çarpılıp toplandığında 1,75 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Y=1Y=1 koşulunun marjinal olasılığını hesaplayınız.
P(Y=1)=0,10+0,30=0,40P(Y=1) = 0,10 + 0,30 = 0,40
Koşullu olasılık hesaplanırken paydada yer alacak toplam olasılığı belirlemek gerekir.
2
Y=1Y=1 durumunda XX'in alabileceği değerler için koşullu olasılıkları belirleyiniz.
P(X=1∣Y=1)=0,10/0,40=0,25P(X=1|Y=1) = 0,10 / 0,40 = 0,25 ve P(X=2∣Y=1)=0,30/0,40=0,75P(X=2|Y=1) = 0,30 / 0,40 = 0,75
P(X∣Y)=P(X,Y)/P(Y)P(X|Y) = P(X,Y) / P(Y) formülü uyarınca her bir hücre değeri toplam koşul olasılığına bölünür.
3
Koşullu beklenen değer tanımını uygulayınız.
E[X∣Y=1]=(1×0,25)+(2×0,75)=0,25+1,50=1,75E[X|Y=1] = (1 \times 0,25) + (2 \times 0,75) = 0,25 + 1,50 = 1,75
Beklenen değer, rastgele değişkenin değerleri ile bu değerlerin gerçekleşme olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde koşullu beklenen değer, belirli bir durumun gerçekleştiği bilindiğinde değişkenin ağırlıklı ortalamasıdır.

Practice More

Aynı tabloyu kullanarak Var(X∣Y=1)Var(X|Y=1) değerini hesaplayarak koşullu varyans kavramını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Eğer değişkenler bağımsız olsaydı, E[X∣Y=1]=E[X]E[X|Y=1] = E[X] olurdu. Ancak bu tabloda P(X=1,Y=1)=0,10P(X=1, Y=1) = 0,10 iken P(X=1)×P(Y=1)=0,30×0,40=0,12P(X=1) \times P(Y=1) = 0,30 \times 0,40 = 0,12 olduğu için değişkenlerin bağımlı olduğu ve koşullu beklentinin marjinal beklentiden farklı çıkacağı baştan öngörülebilir.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Koşullu Beklenen Değer ve Koşullu Varyans