Bir e-ticaret platformunda, bir ziyaretçinin sepete eklediği ürünü satın alma eylemi X=1, … — KPSS İstatistik

Bir e-ticaret platformunda, bir ziyaretçinin sepete eklediği ürünü satın alma eylemi $X=1$ , sepeti terk etme eylemi ise $X=0$ olarak tanımlanmıştır. Bir ziyaretçinin ürünü satın alma olasılığının $p$ (burada $0 < p < 1$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu süreci modelleyen $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri, varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak ifade edilmiştir?

Beklenen değeri $p$ , varyansı $p(1-p)$ ve moment çıkaran fonksiyonu $(1-p) + pe^t$ Answer
B
Beklenen değeri $p$ , varyansı $p^2$ ve moment çıkaran fonksiyonu $(1-p) + pe^t$
C
Beklenen değeri $1-p$ , varyansı $p(1+p)$ ve moment çıkaran fonksiyonu $p + (1-p)e^t$
D
Beklenen değeri $p$ , varyansı $\sqrt{p}$ ve moment çıkaran fonksiyonu $(1-p) + pe^t$
E
Beklenen değeri $p$ , varyansı $p(1-p)$ ve moment çıkaran fonksiyonu $p + (1-p)e^t$

Answer

Beklenen değeri

p

, varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

olarak verilen seçenektir.

Bernoulli dağılımı gösteren bir

X

rastgele değişkeninin yalnızca iki olası durumu vardır: başarı (

X=1

) ve başarısızlık (

X=0

). Bu değişkenin beklenen değeri, değerlerle olasılıkların çarpım toplamı olan

p

'dir. Varyansı,

E[X^2] - E[X]^2

işleminden

p - p^2 = p(1-p)

olarak elde edilir. Moment çıkaran fonksiyonu ise

E[e^{tX}]

formülünün uygulanmasıyla

(1-p) + pe^t

sonucunu verir. Tüm bu eşitliklerin doğru sağlandığı ifade doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

Beklenen değerin (E[X]) hesaplanması

E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

Kesikli rastgele değişkenlerde beklenen değer, alınan değerlerin kendi olasılıklarıyla çarpılıp toplanmasıyla bulunur.

Varyansın (Var(X)) hesaplanması

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = (1^2 \cdot P(X=1) + 0^2 \cdot P(X=0)) - p^2 = p - p^2 = p(1-p)

Varyans formülü kullanılarak, ikinci momentten beklenen değerin karesi çıkarılır.

Moment çıkaran fonksiyonun (M_X(t)) hesaplanması

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

Moment çıkaran fonksiyonun tanımına göre

e^{tx}

ifadeleri olasılık ağırlıklarıyla toplanır.

Key Concept

Bernoulli dağılımının beklenen değeri, varyansı ve moment çıkaran fonksiyonu

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic