İstatistiksel bir çalışmada, belirli bir özelliğin gözlemlenip gözlemlenmemesi durumunu ma… — KPSS İstatistik

İstatistiksel bir çalışmada, belirli bir özelliğin gözlemlenip gözlemlenmemesi durumunu matematiksel olarak ifade etmek amacıyla bir $X$ indikatör (gösterge) değişkeni tanımlanmıştır. Bu değişkenin doğası gereği, tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin beklenen değeri aynı olup her $k = 1, 2, \dots$ için $E[X^k] = p$ $(0 < p < 1)$ koşulunu sağlamaktadır.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

$p(1-p)$ ve $(1-p) + pe^t$ Answer
B
$p(1+p)$ ve $(1-p) + pe^t$
C
$p^2$ ve $\frac{pe^t}{1 - (1-p)e^t}$
D
$\sqrt{p}$ ve $pe^t$
E
$p(1-p)$ ve $p + (1-p)e^t$

Answer

Doğru seçenek, varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + pe^t

olarak veren seçenektir.

Verilen

E[X^k] = p

koşulu, rastgele değişkenin yalnızca

0

1

değerlerini alabildiğini gösterir, çünkü yalnızca bu sayıların her kuvveti kendisine eşittir (

X^k = X

). Bu durumda

X \sim Bernoulli(p)

olur. Bernoulli dağılımının varyansı

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

şeklinde hesaplanır. Moment çıkaran fonksiyon ise tanım gereği

E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0}P(X=0) + e^{t \cdot 1}P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

E[X^k] = p

eşitliğinden

X

değişkeninin durum uzayını ve olasılık dağılımını belirlemek.

E[X^2] = E[X] \implies X^2 = X

eşitliği yalnızca

X=0

X=1

için sağlanır. Dolayısıyla

P(X=1) = p

P(X=0) = 1-p

olan Bernoulli dağılımı söz konusudur.

Tüm kuvvetlerin aynı beklenen değere sahip olması, değişkenin sadece indikatör (gösterge) değerleri alabileceğini matematiksel olarak kanıtlar.

Varyansı temel formül üzerinden hesaplamak.

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

olarak bulunur.

Varyans tanım formülü, dağılımın yayılımını bulmak için en doğrudan yöntemdir.

Moment çıkaran fonksiyonu (

M_X(t)

) tanım üzerinden oluşturmak.

M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum e^{tx}P(X=x) = e^{t(0)}(1-p) + e^{t(1)}p = (1-p) + pe^t

elde edilir.

Kesikli dağılımlar için moment çıkaran fonksiyon,

e^{tx}

değerleri ile olasılıkların ağırlıklı toplamıdır.

Key Concept

İndikatör değişkenlerin moment özellikleri ve Bernoulli Dağılımının karakteristikleri

Alternative Method

M_X(t) = E[e^{tX}]

tanımında

e^{tX}

fonksiyonunun Maclaurin serisi (Taylor açılımı) kullanılarak doğrudan analitik bir yaklaşım izlenebilir:

E[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(tX)^k}{k!}] = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^k E[X^k]}{k!}

. Soruda verilen

E[X^k] = p

eşitliği yerine yazıldığında işlem:

1 + p \sum_{k=1}^{\infty} \frac{t^k}{k!} = 1 + p(e^t - 1) = 1 - p + pe^t

şekline dönüşür. Bu yöntem değişkenin

(0,1)

değerlerini aldığını baştan keşfetmeden bile doğru sonuca ulaştırır.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic