Examkin

Question

Difficulty: Very hardBernoulli Dağılımı
Olasılık teorisinde, bir XX rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF) her t∈Rt \in \mathbb{R} için
MX(t)=(1−p)+pet(0<p<1)M_X(t) = (1-p) + p e^t \quad (0 < p < 1)
biçiminde tanımlanmaktadır.

Bu rastgele değişkene deterministik bir fonksiyon uygulanarak Y=2XY = 2^X şeklinde yeni bir rastgele değişken elde ediliyor.

Buna göre, YY rastgele değişkeninin varyansı (Var(Y)Var(Y)) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. A
    4p(1−p)4p(1-p)
  2. B
    p2p^2
  3. p(1−p)p(1-p)Answer
  4. D
    p(1+p)p(1+p)
  5. E
    p\sqrt{p}

Answer

Dönüştürülmüş YY rastgele değişkeninin varyansı p(1−p)p(1-p) ifadesine eşittir.
Verilen moment çıkaran fonksiyon (MGF) X∼Bernoulli(p)X \sim Bernoulli(p) dağılımına aittir. XX rastgele değişkeni yalnızca 00 ve 11 değerlerini alabildiğinden, bu iki nokta için 2X=X+12^X = X+1 eşitliği her zaman doğrudur. Varyansın doğrusal dönüşüm kuralına göre Var(X+1)=Var(X)Var(X+1) = Var(X) olur. Bernoulli dağılımının varyansı da p(1−p)p(1-p) olduğundan, dönüştürülmüş değişkenin varyansı değişmez ve p(1−p)p(1-p) kalır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen moment çıkaran fonksiyondan (MGF) XX rastgele değişkeninin dağılımını ve alabileceği değerleri belirlemek.
MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + p e^t fonksiyonu, başarı olasılığı pp olan Bernoulli dağılımının karakteristik yapısıdır. Bu nedenle X∼Bernoulli(p)X \sim Bernoulli(p) olur ve XX değişkeni yalnızca 00 ve 11 değerlerini alır.
Bir rastgele değişkenin dağılımı, eğer mevcutsa, moment çıkaran fonksiyonu ile tekil (unique) olarak belirlenir.
2
Y=2XY = 2^X rastgele değişkeninin olasılık dağılımını (PMF) elde etmek.
X=0X=0 durumunda Y=20=1Y = 2^0 = 1 (Olasılık: 1−p1-p)
X=1X=1 durumunda Y=21=2Y = 2^1 = 2 (Olasılık: pp)
Böylece YY değişkeninin kesikli olasılık dağılımı bulunmuş olur.
XX'in aldığı spesifik değerler üzerinden, tanımlanan üstel fonksiyon doğrudan dönüştürülerek YY'nin durumu saptanır.
3
YY rastgele değişkeninin beklenen değerini (E[Y]E[Y]) hesaplamak.
E[Y]=∑y⋅P(Y=y)=1⋅(1−p)+2⋅p=1−p+2p=1+pE[Y] = \sum y \cdot P(Y=y) = 1 \cdot (1-p) + 2 \cdot p = 1 - p + 2p = 1 + p.
Varyans formülünün (Var(Y)=E[Y2]−(E[Y])2Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2) ikinci kısmı için birinci momente (beklenen değere) ihtiyaç vardır. (Alternatif olarak E[2X]=MX(ln⁡2)E[2^X] = M_X(\ln 2) ile de aynı sonuç bulunur).
4
Y2Y^2'nin beklenen değerini (E[Y2]E[Y^2]) hesaplamak.
Y2Y^2 değerleri 12=11^2=1 ve 22=42^2=4 şeklindedir.
E[Y2]=1⋅(1−p)+4⋅p=1−p+4p=1+3pE[Y^2] = 1 \cdot (1-p) + 4 \cdot p = 1 - p + 4p = 1 + 3p.
Varyans formülünün ilk kısmı olan ikinci momenti bulmak zorunludur.
5
Var(Y)Var(Y) varyans değerini sonuca ulaştırmak ve alternatif yöntemi doğrulamak.
Var(Y)=(1+3p)−(1+p)2=1+3p−(1+2p+p2)=p−p2=p(1−p)Var(Y) = (1 + 3p) - (1 + p)^2 = 1 + 3p - (1 + 2p + p^2) = p - p^2 = p(1-p).
Varyans tanımı başarıyla uygulanmıştır. Ayrıca, X∈{0,1}X \in \{0,1\} iken 2X=X+12^X = X+1 lineer eşitliği geçerlidir. Buradan Var(2X)=Var(X+1)=Var(X)=p(1−p)Var(2^X) = Var(X+1) = Var(X) = p(1-p) olduğu çok daha kısa yoldan teyit edilebilir.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyon ile Beklenen Değer ve Varyans Dönüşümleri

Alternative Method

E[Y]E[Y] ve E[Y2]E[Y^2] değerlerini doğrudan moment çıkaran fonksiyon kullanarak hesaplayabilirsiniz. E[Y]=E[2X]=E[eXln⁡2]=MX(ln⁡2)=1−p+peln⁡2=1−p+2p=1+pE[Y] = E[2^X] = E[e^{X \ln 2}] = M_X(\ln 2) = 1 - p + p e^{\ln 2} = 1 - p + 2p = 1 + p. Benzer şekilde E[Y2]=E[4X]=MX(ln⁡4)=1+3pE[Y^2] = E[4^X] = M_X(\ln 4) = 1 + 3p bulunur ve buradan doğrudan varyans hesaplanarak yine p(1−p)p(1-p) sonucuna ulaşılır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Bernoulli Dağılımı

More questions from this topic