Bir petrokimya tesisinde, özel bir çözücünün günlük tüketim miktarı (ton cinsinden) X süre… — KPSS İstatistik

Bir petrokimya tesisinde, özel bir çözücünün günlük tüketim miktarı (ton cinsinden) $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} 3x^2, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu çözücünün günlük tüketimine bağlı olarak ortaya çıkan toplam operasyonel maliyet (bin TL cinsinden) $M(X) = 200X^2 + 50X + 100$ fonksiyonu ile ifade edilmektedir.

Buna göre, bu petrokimya tesisi için günlük beklenen operasyonel maliyet kaç bin TL'dir?

A
157,5
B
250
257,5Answer
D
287,5
E
350

Answer

Günlük beklenen operasyonel maliyet 257,5 bin TL'dir.

Sürekli bir rastgele değişkenin beklenen değeri E[X] = ∫x·f(x)dx formülü ile bulunur. Buradan E[X] = ∫_0^1 x(3x^2)dx = 3/4 = 0,75 elde edilir. E[X^2] ise ∫x^2·f(x)dx = ∫_0^1 x^2(3x^2)dx = 3/5 = 0,6 olarak bulunur. Beklenen değerin doğrusallık özelliğine göre E[200X^2 + 50X + 100] = 200E[X^2] + 50E[X] + 100 olacaktır. Değerleri yerine koyduğumuzda: 200(0,6) + 50(0,75) + 100 = 120 + 37,5 + 100 = 257,5 bin TL sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

X'in birinci momentini (beklenen değerini) hesapla.

E[X] = \int_0^1 x(3x^2)dx = \int_0^1 3x^3 dx = \frac{3}{4} = 0,75

Maliyet fonksiyonundaki doğrusal X teriminin beklenen değerini bulmak için.

X'in ikinci momentini hesapla.

E[X^2] = \int_0^1 x^2(3x^2)dx = \int_0^1 3x^4 dx = \frac{3}{5} = 0,6

Maliyet fonksiyonundaki karesel X^2 teriminin beklenen değerini bulmak için.

Beklenen değerin doğrusallık özelliğini kullanarak toplam maliyeti hesapla.

E[M(X)] = 200E[X^2] + 50E[X] + 100 = 200(0,6) + 50(0,75) + 100 = 120 + 37,5 + 100 = 257,5

Maliyetin bileşenlerinin beklenen değerlerini ayrı ayrı toplayıp sabit terimi ekleyerek toplam beklenen maliyeti bulmak için.

Key Concept

Sürekli rastgele değişkenlerde beklenen değer ve doğrusallık özelliği

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic