Bir siber güvenlik şirketinde, bulut tabanlı bir ana sunucunun günlük ortalama işlemci (CP… — KPSS İstatistik

Bir siber güvenlik şirketinde, bulut tabanlı bir ana sunucunun günlük ortalama işlemci (CPU) kullanım oranı $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Yapılan analizler sonucunda $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} c \cdot x(1-x), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Şirketin bu sunucu için ödediği günlük bulut altyapı maliyeti (Dolar cinsinden) $M$ rastgele değişkeni ile gösterilmekte olup, $M = 100X^2 - 10X + 50$ formülüyle hesaplanmaktadır.

Buna göre, bu sunucunun günlük bulut altyapı maliyetinin beklenen değeri kaç Dolar'dır?

A
70
B
25
C
12,5
75Answer
E
140

Answer

Sunucunun günlük bulut altyapı maliyetinin beklenen değeri 75 Dolar'dır.

Beklenen değerin hesaplanması için öncelikle alanın 1'e eşit olması kuralıyla olasılık yoğunluk fonksiyonunun bilinmeyen c sabiti 6 olarak bulunmalıdır. Devamında

E[X] = \int x f(x) dx = \frac{1}{2}

E[X^2] = \int x^2 f(x) dx = \frac{3}{10}

integral işlemleriyle elde edilir. Maliyet fonksiyonunun beklenen değeri hesaplanırken

E[M] = E[100X^2 - 10X + 50] = 100E[X^2] - 10E[X] + 50

doğrusallık özelliği kullanılır. Değerler yerine konduğunda

30 - 5 + 50 = 75

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm uzaydaki integralinin 1 olmasından yola çıkarak c sabitini hesaplamak.

c = 6

Bir f(x) fonksiyonunun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için tanımlı olduğu aralıktaki toplam alanının 1'e eşit olması zorunludur. Integral [0,1] c(x-x^2)dx = c(1/2 - 1/3) = c/6 = 1 denklemi çözülmüştür.

X değişkeninin beklenen değerini (E[X]) bulmak için x*f(x) fonksiyonunun integralini hesaplamak.

E[X] = 1/2

Maliyet formülündeki doğrusal (10X) kısmı çözümleyebilmek için rassal değişkenin birinci momentine ihtiyaç duyulmaktadır. Integral [0,1] 6(x^2 - x^3)dx = 6(1/3 - 1/4) = 1/2 olarak bulunur.

X değişkeninin karesinin beklenen değerini (E[X^2]) bulmak için x^2*f(x) fonksiyonunun integralini hesaplamak.

E[X^2] = 3/10

Maliyet formülündeki karesel (100X^2) kısmı çözümleyebilmek için rassal değişkenin ikinci momentine (orijin etrafındaki moment) ihtiyaç vardır. Integral [0,1] 6(x^3 - x^4)dx = 6(1/4 - 1/5) = 3/10 elde edilir.

Beklenen değerin doğrusallık özelliğini kullanarak M değişkeninin beklenen değerini (E[M]) neticelendirmek.

E[M] = 75

Beklenen değer lineer bir operatördür: E[100X^2 - 10X + 50] = 100E[X^2] - 10E[X] + 50. Bulduğumuz değerleri yerine yazdığımızda: 100(3/10) - 10(1/2) + 50 = 30 - 5 + 50 = 75 sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Moment Hesaplaması ve Beklenen Değerin Doğrusallık Özelliği

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic