Bir kamu kurumunun veri merkezinde, ana sunucunun yoğun işlem kapasitesinde çalıştığı günl… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunun veri merkezinde, ana sunucunun yoğun işlem kapasitesinde çalıştığı günlük süre (saat) $X$ ile gösterilmekte olup, bu değişkenin yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki kuralla tanımlanmıştır:

f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1 \\ \frac{1}{2}, & 1 \le x \le 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Aynı merkezde faaliyet gösteren bağımsız soğutma sisteminin günlük enerji tüketimi (kWh) ise $Y$ rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. Soğutma sisteminin ortalama enerji tüketimi $E[Y] = 3$ kWh olarak ölçülmüştür.

Sistemin günlük toplam operasyonel maliyeti $M = 144X^2 - 20Y + 15$ (TL) bağıntısıyla modellendiğine göre, günlük beklenen operasyonel maliyet ( $E[M]$ ) kaç TL olarak hesaplanır?

A
99
B
111
159Answer
D
124
E
219

Answer

Beklenen operasyonel maliyet 159 TL'dir.

Beklenen değer operatörü doğrusal olduğundan,

E[M] = 144E[X^2] - 20E[Y] + 15

şeklinde yazılır.

E[X^2]

değeri parçalı fonksiyonda

\int_0^1 x^3 dx + \int_1^2 \frac{x^2}{2} dx = \frac{1}{4} + \frac{7}{6} = \frac{17}{12}

olarak bulunur. Verilen

E[Y]=3

ve hesaplanan

E[X^2]

değerleri formülde yerine konduğunda sonuç 159 TL çıkar.

Step-by-Step Solution

X

değişkeni için

E[X^2]

değerinin integral ile hesaplanması

E[X^2] = \int_0^1 x^2(x)dx + \int_1^2 x^2(\frac{1}{2})dx = [\frac{x^4}{4}]_0^1 + [\frac{x^3}{6}]_1^2 = \frac{1}{4} + (\frac{8}{6} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{4} + \frac{7}{6} = \frac{17}{12}

Maliyet fonksiyonundaki

X^2

teriminin beklenen değerini bulmak için, verilen parçalı yoğunluk fonksiyonunun ilgili aralıklarında

x^2 \cdot f(x)

integrali alınmalıdır.

Beklenen değerin doğrusallık özelliğinin (linearity) maliyet fonksiyonuna uygulanması

E[M] = E[144X^2 - 20Y + 15] = 144E[X^2] - 20E[Y] + 15

Beklenen değer operatörü doğrusaldır; bağımsız değişkenlerin veya aynı değişkenin farklı fonksiyonlarının toplam/fark durumlarında sabitler dışarı alınarak ayrı ayrı beklenen değerler yazılabilir.

Bulunan

E[X^2]

ve verilen

E[Y]

değerlerinin denkleme yerleştirilmesi

E[M] = 144(\frac{17}{12}) - 20(3) + 15 = 12 \cdot 17 - 60 + 15 = 204 - 60 + 15 = 159

Matematiksel umut değerlerinin doğrusal fonksiyonda yerine konulmasıyla nihai operasyonel maliyet hesaplanmış olur.

Key Concept

Beklenen Değerin Doğrusallığı ve Sürekli Rastgele Değişkenlerde Moment Hesabı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics