Bir sağlık ekonomisti, bireylerin yıllık sağlık harcamalarını (Y) açıklamak üzere, yaş (X_… — KPSS İstatistik

Bir sağlık ekonomisti, bireylerin yıllık sağlık harcamalarını ( $Y$ ) açıklamak üzere, yaş ( $X_1$ ) ve kronik hastalık durumu ( $X_2$ ) değişkenlerini içeren aşağıdaki gerçek modeli kurmuştur:

Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i

Ancak veri setinde kronik hastalık durumu ( $X_2$ ) değişkenine ulaşılamadığı için araştırmacı, sadece yaş ( $X_1$ ) değişkenini kullanarak aşağıdaki eksik belirlenmiş modeli En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Y_i = \alpha_0 + \alpha_1 X_{1i} + v_i

İktisadi ve tıbbi teoriye göre, yaş ( $X_1$ ) ile kronik hastalık durumu ( $X_2$ ) arasında pozitif bir korelasyon bulunduğu ve kronik hastalıkların sağlık harcamalarını artırdığı ( $\beta_2 > 0$ ) bilinmektedir.

Buna göre, gerekli bir değişkenin dışlanması (eksik belirleme) durumunun EKK tahmincileri ve modelin istatistiksel sonuçları üzerindeki etkisine ilişkin aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A
$\hat{\alpha}_1$ katsayı tahminicisi sapmasız ve tutarlı kalmaya devam eder, ancak modele dahil edilmeyen $X_2$ değişkeni nedeniyle yalnızca tahmincinin varyansı artarak etkinlik (minimum varyans) özelliği kaybolur.
B
Yaş ile kronik hastalık durumu arasındaki pozitif korelasyon ve kronik hastalıkların harcamaları artırması ( $\beta_2 > 0$ ) nedeniyle, $\hat{\alpha}_1$ katsayısının beklenen değeri gerçek $\beta_1$ parametresinden daha küçük (negatif yönde sapmalı) elde edilir.
$\hat{\alpha}_1$ katsayı tahmini pozitif yönde sapmalı (yukarı doğru yanlı) elde edilir ve dışlanan değişken nedeniyle hata varyansı tahmini yukarı yönlü sapmalı hale gelerek güven aralıklarının ve hipotez testlerinin geçersiz olmasına yol açar.Answer
D
Eğer $X_1$ ve $X_2$ arasında hiçbir doğrusal ilişki (korelasyon) olmasaydı, $\hat{\alpha}_1$ katsayısı sapmasız olacağı için modelin hata varyansı ( $\sigma^2$ ) tahmini de gerçek modelle birebir aynı ve sapmasız olarak hesaplanırdı.
E
Eksik modelde tahmin edilecek parametre sayısı azaldığı için serbestlik derecesi artar; bu durum Hata Kareler Toplamı'nın daha büyük bir değere bölünmesine yol açarak hata varyansının yapay olarak daha küçük (aşağı yönlü sapmalı) bulunmasına neden olur.

Answer

Doğru yanıt, eksik belirleme durumunda katsayının pozitif yönde sapmalı elde edileceğini ve hata varyansı tahmininin yukarı yönlü sapmalı hale gelerek istatistiksel testleri geçersiz kılacağını belirten ifadedir.

Gerekli bir değişkenin modelden dışlanması durumunda, modele dahil edilen değişkenin katsayısı sapmalı (biased) ve tutarsız (inconsistent) hale gelir. Sapmanın yönü, dışlanan değişkenin gerçek katsayısı (

\beta_2

) ile modele dahil edilen değişken arasındaki kovaryansın (veya korelasyonun) işaretlerinin çarpımına bağlıdır. İkisi de pozitif verildiği için

\hat{\alpha}_1

katsayısı pozitif yönde (yukarı doğru) sapmalı olacaktır. Ek olarak, dışlanan

X_2

değişkeni yeni modelin hata teriminin (

v_i

) yapısına doğrudan gireceğinden, açıklanamayan varyans artacak ve modelin hata varyansı tahmini her zaman yukarı yönlü sapmalı hale gelecektir. Bu şişmiş varyans, parametre standart hatalarının, t ve F testlerinin güvenilirliğini yitirmesine neden olur.

Step-by-Step Solution

Eksik belirlenmiş modelde EKK tahmincisinin beklenen değerini oluşturan formülü incelemek.

E(\hat{\alpha}_1) = \beta_1 + \beta_2 \frac{Cov(X_1, X_2)}{Var(X_1)}

bağıntısı kurulur.

Dışlanan değişkenin modele dahil edilen değişkenle olan doğrusal ilişkisi ve gerçek etkisi, katsayı tahmininde doğrudan bir yanlılık (sapma) yaratır.

Katsayıdaki sapmanın yönünü tespit etmek.

Soruda

\beta_2 > 0

Cov(X_1, X_2) > 0

olarak verildiği için, eklenen hata (sapma) terimi pozitif olur. Bu,

\hat{\alpha}_1

'in pozitif yönde (yukarı doğru) sapmalı olduğunu gösterir.

Pozitif korelasyon ve pozitif katsayı çarpımı, tahmin edilen etkinin gerçek etkiden daha büyük görünmesine yol açar.

Hata varyansı tahmini (

\hat{\sigma}^2

) üzerindeki etkiyi değerlendirmek.

Gerçekte

X_2

değişkenine ait olan açıklayıcı güç, eksik modelde doğrudan hata teriminin (

v_i = \beta_2 X_{2i} + u_i

) içine dahil olur. Bu da hata varyansının yapay olarak daha büyük çıkmasına (yukarı yönlü sapmaya) neden olur.

EKK'nın hatalarının varyans tahmini şiştiğinde, parametrelerin standart hataları da güvenilmez hale gelir ve tüm t ile F testleri geçersiz olur.

Key Concept

Eksik Belirleme Hataları ve EKK Tahmincilerine Etkisi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics