Bir yenilenebilir enerji tesisinde güneş panellerinin yüzeyine düşen saatlik normalize edi… — KPSS İstatistik

Bir yenilenebilir enerji tesisinde güneş panellerinin yüzeyine düşen saatlik normalize edilmiş radyasyon şiddeti $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{8}x^2, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Panellerin ürettiği anlık güç miktarı (kW) ise $Y = X^2$ dönüşümü kullanılarak elde edilmektedir.

Buna göre, üretilen gücü ifade eden $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$f_Y(y) = \frac{3}{16}\sqrt{y}, \quad 0 < y < 4$ Answer
B
$f_Y(y) = \frac{3}{8}y, \quad 0 < y < 4$
C
$f_Y(y) = \frac{3}{16}\sqrt{y}, \quad 0 < y < 2$
D
$f_Y(y) = \frac{3}{4}y\sqrt{y}, \quad 0 < y < 4$
E
$f_Y(y) = \frac{3}{8}y, \quad 0 < y < 2$

Answer

Dönüşüm sonrasında elde edilen yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = \frac{3}{16}\sqrt{y}, \quad 0 < y < 4

olarak bulunur.

Tek değişkenli dönüşüm yönteminde temel formül

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |\frac{dx}{dy}|

şeklindedir. Ters fonksiyon

x = \sqrt{y}

, Jakobiyen

|\frac{dx}{dy}| = \frac{1}{2\sqrt{y}}

olur. Fonksiyonda yerine konduğunda elde edilen çarpım

\frac{3}{16}\sqrt{y}

'yi verir.

x

'in

(0, 2)

aralığına karesi alınarak dönüştürülen sınır değerleri de

Y

için

(0, 4)

aralığını doğru şekilde belirler.

Step-by-Step Solution

Dönüşüm fonksiyonunun tersini bulmak.

Y = X^2

dönüşümü verildiğinden ve

X

'in tanım aralığı pozitif (

0 < x < 2

) olduğundan, ters fonksiyon

X = g^{-1}(y) = \sqrt{y}

olur.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu dönüşümünde orijinal değişkene ait PDF içine yazılacak olan ters fonksiyonu belirlemek.

Jakobiyen determinantını (ters fonksiyonun türevi) hesaplamak.

J = \frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(\sqrt{y}) = \frac{1}{2\sqrt{y}}

. Mutlak değeri de

|J| = \frac{1}{2\sqrt{y}}

şeklindedir.

Dönüşüm yönteminin (değişken değiştirme) temel formülündeki integrasyon çarpanını elde etmek.

Yeni rastgele değişkenin (

Y

) tanım sınırlarını belirlemek.

X

'in sınırları

0 < x < 2

olduğuna göre ve

Y = X^2

olduğundan,

Y

'nin sınırları

0^2 < y < 2^2

, yani

0 < y < 4

olur.

Rastgele değişkenin tanımlı olduğu ve PDF'in geçerli olduğu yeni bölgeyi belirlemek.

Dönüşüm formülünü uygulamak.

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J| = \frac{3}{8}(\sqrt{y})^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{3}{8}y \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{3}{16}\sqrt{y}

Tek değişkenli dönüşüm kuralını tamamlayarak

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu nihai haline getirmek.

Key Concept

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics