Bir orman bölge müdürlüğünün yürüttüğü ekolojik bir çalışmada, belirli bir ağaç türünün yı… — KPSS İstatistik

Bir orman bölge müdürlüğünün yürüttüğü ekolojik bir çalışmada, belirli bir ağaç türünün yıllık gövde çapı büyüme oranı $X$ (yüzde olarak) sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Araştırmacılar, bu büyüme oranını baz alarak yeni bir "Biyokütle Gelişim İndeksi" ( $Y$ ) tanımlamışlardır. Bu indeks, $Y = e^{2X}$ dönüşümü ile elde edilmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$f_Y(y) = \frac{1}{y^2}, \quad y > 1$ Answer
B
$f_Y(y) = \frac{2}{y}, \quad y > 1$
C
$f_Y(y) = \frac{1}{y^2}, \quad y > 0$
D
$f_Y(y) = 4, \quad y > 1$
E
$f_Y(y) = \frac{4}{y^2}, \quad y > 1$

Answer

f_Y(y) = \frac{1}{y^2}, \quad y > 1

Tek değişkenli dönüşüm teoremine göre, kesin monoton bir

Y=g(X)

dönüşümünde yeni PDF,

f_Y(y) = f_X(x) \cdot |dx/dy|

formülüyle bulunur.

x = \frac{1}{2}\ln(y)

ifadesi fonksiyona yerleştirildiğinde

2e^{-\ln(y)} = \frac{2}{y}

elde edilir. Bu ifade, Jakobiyen olan

|dx/dy| = \frac{1}{2y}

ile çarpıldığında sonuç

\frac{1}{y^2}

olur.

x > 0

aralığı da dönüştürüldüğünde

y > e^0 = 1

sınırı doğru bir şekilde bulunmuş olur.

Step-by-Step Solution

Dönüşümün ters fonksiyonunu bulunuz.

Y = e^{2X} \implies \ln(Y) = 2X \implies X = \frac{1}{2}\ln(Y)

Tek değişkenli dönüşüm yönteminde,

f_X

fonksiyonunda

x

yerine yazılacak

y

cinsinden ifadeyi elde etmek için.

Y

rastgele değişkeninin tanım aralığını (sınırlarını) belirleyiniz.

x > 0

olduğundan,

X = \frac{1}{2}\ln(Y) > 0 \implies \ln(Y) > 0 \implies Y > 1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu aralığı, yeni değişkene göre güncellemek zorunludur.

Jakobiyen değerini (ters fonksiyonun türevinin mutlak değerini) hesaplayınız.

J = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \left| \frac{d}{dy} \left( \frac{1}{2}\ln(y) \right) \right| = \left| \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} \right| = \frac{1}{2y}

Dönüşüm formülünde olasılık kütlesinin korunması için değişim oranının mutlak değeri ile çarpılması gerekir.

Tek değişkenli dönüşüm formülünü uygulayınız:

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|

f_Y(y) = 2e^{-2\left(\frac{1}{2}\ln(y)\right)} \cdot \frac{1}{2y}

Orijinal PDF'te

x

yerine

y

'li ifadeyi yazıp, Jakobiyen ile çarparak yeni PDF'i oluşturmak için.

Elde edilen fonksiyonu sadeleştiriniz.

2e^{-\ln(y)} \cdot \frac{1}{2y} = 2\left(\frac{1}{y}\right) \cdot \frac{1}{2y} = \frac{1}{y^2}

(Sınır:

y > 1

)

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun en yalın ve matematiksel olarak işlenebilir halini elde etmek için.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics