Bir donanım parçasının arızalanma süresini (yıl olarak) modelleyen X sürekli rassal değişk… — KPSS İstatistik

Bir donanım parçasının arızalanma süresini (yıl olarak) modelleyen $X$ sürekli rassal değişkeninin yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır:

f(x) = \begin{cases} \frac{4}{15}x^3, & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Donanımın zaman içindeki değer kaybını asimptotik olarak modellemek amacıyla $Y = \frac{1}{X}$ dönüşümü kullanılarak yeni bir $Y$ rassal değişkeni elde ediliyor.

Buna göre, $Y$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu olan $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$\frac{4}{15y^5}, \quad \frac{1}{2} < y < 1$ Answer
B
$\frac{4}{15y^5}, \quad 1 < y < 2$
C
$\frac{4}{15y^3}, \quad \frac{1}{2} < y < 1$
D
$\frac{4}{15y}, \quad \frac{1}{2} < y < 1$
E
$\frac{4y}{15}, \quad \frac{1}{2} < y < 1$

Answer

Doğru cevap, yoğunluk fonksiyonunu

f_Y(y) = \frac{4}{15y^5}

ve tanım aralığını

\frac{1}{2} < y < 1

olarak veren seçenektir.

Tek değişkenli sürekli rassal değişkenlerde dönüşüm kuralı

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right|

şeklindedir. Burada

x = \frac{1}{y}

olup, türevin mutlak değeri

\frac{1}{y^2}

'dir. Formülde yerine konulduğunda

\frac{4}{15}\left(\frac{1}{y}\right)^3 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{4}{15y^5}

elde edilir. Tanım aralığı ise eşitsizlik kuralları gereği

1 < \frac{1}{y} < 2

üzerinden çözüldüğünde

\frac{1}{2} < y < 1

bulunur.

Step-by-Step Solution

Y = \frac{1}{X}

dönüşümünün ters fonksiyonunu elde etme.

X = \frac{1}{Y} = Y^{-1}

Değişken değiştirme yönteminde

f_X(x)

fonksiyonunda

x

yerine yazılacak eşitliğin bulunması gerekir.

Ters dönüşümün türevini alarak Jakobiyen (mutlak değer) faktörünü hesaplama.

\frac{dx}{dy} = -Y^{-2} \implies |J| = \left|-\frac{1}{y^2}\right| = \frac{1}{y^2}

Olasılıkların korunması için türevin mutlak değeriyle yoğunluk fonksiyonunun çarpılması zorunludur.

Ana formülü (

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J|

) uygulama.

f_Y(y) = \frac{4}{15}\left(\frac{1}{y}\right)^3 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{4}{15y^5}

Yeni rassal değişkenin matematiksel formunu elde etmek içindir.

Yeni değişkenin (

Y

) tanım sınırlarını bulma.

1 < x < 2 \implies 1 < \frac{1}{y} < 2 \implies \frac{1}{2} < y < 1

Dönüşüm sonucunda yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu aralığın da dönüştürülmesi gerekir.

Key Concept

Tek Değişkenli Dönüşüm (Değişken Değiştirme) Yöntemi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics