Examkin

Question

Difficulty: MediumMomentler Yöntemi (Method of Moments)

Bir kamu denetçisi, bir üretim tesisindeki hatalı parçaların sayısını (XX) incelemektedir. Yapılan teknik analizler sonucunda XX rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonunun aşağıdaki gibi olduğu varsayılmaktadır:

xxP(X=x)P(X=x)
00θ2\theta^2
112θ(1−θ)2\theta(1-\theta)
22(1−θ)2(1-\theta)^2

Burada θ∈(0,1)\theta \in (0, 1) bilinmeyen bir parametredir. nn birimlik rastgele bir örneklemden elde edilen örneklem ortalaması Xˉ\bar{X} olduğuna göre, θ\theta parametresinin momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1−Xˉ21 - \frac{\bar{X}}{2}Answer
  2. B
    2−Xˉ2 - \bar{X}
  3. C
    Xˉ2\frac{\bar{X}}{2}
  4. D
    1−Xˉ1 - \bar{X}
  5. E
    1−Xˉ\sqrt{1 - \bar{X}}

Answer

Momentler yöntemi ile elde edilen tahmin edici 1−Xˉ21 - \frac{\bar{X}}{2} ifadesidir.
Doğru tahmin ediciyi bulmak için önce kitle beklenen değeri hesaplanır. E[X]=∑xP(X=x)E[X] = \sum x P(X=x) formülünden E[X]=2−2θE[X] = 2 - 2\theta elde edilir. Momentler yöntemi gereği E[X]=XˉE[X] = \bar{X} eşitliği kurulduğunda, 2−2θ^=Xˉ2 - 2\hat{\theta} = \bar{X} denkleminden θ^=1−Xˉ2\hat{\theta} = 1 - \frac{\bar{X}}{2} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kitlenin ilk teorik momentini (E[X]E[X]) hesaplayınız.
E[X]=0⋅θ2+1⋅(2θ−2θ2)+2⋅(1−2θ+θ2)=2−2θE[X] = 0 \cdot \theta^2 + 1 \cdot (2\theta - 2\theta^2) + 2 \cdot (1 - 2\theta + \theta^2) = 2 - 2\theta
Kesikli rastgele değişkenlerde beklenti, her değerin kendi olasılığı ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur.
2
Teorik momenti örneklem momentine (m1=Xˉm_1 = \bar{X}) eşitleyiniz.
2−2θ^=Xˉ2 - 2\hat{\theta} = \bar{X}
Momentler yönteminin temel prensibi, kitle momentlerini örneklem momentlerine eşitlemektir.
3
Eşitlikten bilinmeyen parametreyi (θ^\hat{\theta}) çekiniz.
2θ^=2−Xˉ⇒θ^=1−Xˉ22\hat{\theta} = 2 - \bar{X} \Rightarrow \hat{\theta} = 1 - \frac{\bar{X}}{2}
Elde edilen denklemde parametre, gözlemlenebilir istatistik olan örneklem ortalaması cinsinden ifade edilir.

Key Concept

Momentler yöntemi, teorik kitle momentlerini (E[Xk]E[X^k]) karşılık gelen örneklem momentlerine (mk=1n∑Xikm_k = \frac{1}{n}\sum X_i^k) eşitleyerek parametre tahmini yapar.

Alternative Method

Bu dağılımın Y=2−XY = 2 - X dönüşümü yapıldığında Y∼Binomial(2,θ)Y \sim \text{Binomial}(2, \theta) olduğu görülebilir. Binom dağılımında E[Y]=2θE[Y] = 2\theta olduğundan, E[2−X]=2−E[X]=2θE[2-X] = 2 - E[X] = 2\theta eşitliği yazılarak daha hızlı sonuca gidilebilir.
Estimated Time:1m 45s
Rate this question

Topics

Momentler Yöntemi (Method of Moments)

More questions from this topic