Examkin

Question

Difficulty: HardTemel Bileşen Skorları

Bir halk sağlığı araştırmacısı, bireylerin sağlıklı yaşam biçimi davranışlarını ölçmek amacıyla p=4p=4 değişkenden oluşan standartlaştırılmış veriler (korelasyon matrisi) üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır.

Elde edilen korelasyon matrisine ait özdeğerler sırasıyla λ1=2,0\lambda_1 = 2,0, λ2=1,2\lambda_2 = 1,2, λ3=0,6\lambda_3 = 0,6 ve λ4=0,2\lambda_4 = 0,2 olarak hesaplanmıştır. Araştırmacı, ilk iki temel bileşen skorunu (Y1Y_1 ve Y2Y_2) kullanarak yeni bir 'Bütünleşik Risk İndeksi' (RR) tanımlamak istemiştir. Bu indeks şu doğrusal denklem ile ifade edilmektedir:

R=2Y1−Y2R = 2Y_1 - Y_2

Temel bileşen skorlarının istatistiksel özellikleri dikkate alındığında, tanımlanan Bütünleşik Risk İndeksinin (RR) varyansı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2,3
  2. B
    5,0
  3. C
    5,2
  4. D
    6,8
  5. 9,2Answer

Answer

Bütünleşik Risk İndeksinin varyansı 9,2'dir.
Temel Bileşenler Analizinde, ii-inci temel bileşen skorunun (YiY_i) varyansı λi\lambda_i'ye eşittir ve tüm temel bileşenler birbirleriyle ilişkisizdir (Cov(Yi,Yj)=0Cov(Y_i, Y_j) = 0). Soru kökündeki R=2Y1−Y2R = 2Y_1 - Y_2 denkleminin varyansı hesaplanırken Var(2Y1−Y2)=4Var(Y1)+1Var(Y2)Var(2Y_1 - Y_2) = 4Var(Y_1) + 1Var(Y_2) eşitliği kurulur. Bu da 4(2,0)+1(1,2)=8,0+1,2=9,24(2,0) + 1(1,2) = 8,0 + 1,2 = 9,2 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Temel bileşen skorlarının varyanslarını belirle.
Var(Y1)=λ1=2,0Var(Y_1) = \lambda_1 = 2,0 ve Var(Y2)=λ2=1,2Var(Y_2) = \lambda_2 = 1,2 bulunur.
TBA'da her bir temel bileşen skorunun varyansı, kendisine karşılık gelen özdeğere eşittir.
2
Temel bileşen skorları arasındaki kovaryansı belirle.
Cov(Y1,Y2)=0Cov(Y_1, Y_2) = 0 bulunur.
Temel bileşenler birbirine dik (ortogonal) olarak elde edildiğinden, skorlar arasındaki korelasyon (ve dolayısıyla kovaryans) sıfırdır.
3
R indeksinin varyansını matematiksel varyans operatörü özelliklerini kullanarak aç.
Var(2Y1−Y2)=22⋅Var(Y1)+(−1)2⋅Var(Y2)−2⋅2⋅1⋅Cov(Y1,Y2)Var(2Y_1 - Y_2) = 2^2 \cdot Var(Y_1) + (-1)^2 \cdot Var(Y_2) - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot Cov(Y_1, Y_2)
Doğrusal kombinasyonların varyansı Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y)+2abCov(X,Y)Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2abCov(X,Y) kuralına göre hesaplanır.
4
Değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesapla.
4⋅(2,0)+1⋅(1,2)−0=8,0+1,2=9,24 \cdot (2,0) + 1 \cdot (1,2) - 0 = 8,0 + 1,2 = 9,2
Bütünleşik risk indeksinin toplam varyansı matematiksel olarak elde edilir.

Key Concept

Temel bileşen skorlarının varyansının ilgili özdeğere eşit olması ve bileşenlerin birbirine ortogonal (kovaryansın sıfır) olması durumu.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Temel Bileşen Skorları

More questions from this topic