Examkin

Question

Difficulty: HardKatsayılar İçin Güven Aralıkları

Bir tarım ekonomisti, buğday rekoltesini (YY, ton/hektar) tahmin etmek amacıyla; yıllık ortalama yağış miktarı (X1X_1, mm), gübre kullanım miktarı (X2X_2, kg/hektar) ve ortalama sıcaklık (X3X_3, ∘C^\circ\text{C}) değişkenlerini kullanarak bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Çalışma, n=32n = 32 farklı tarım bölgesinden elde edilen verilerle yürütülmüştür.

Kurulan model: Yi=β0+β1X1i+β2X2i+β3X3i+εiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \beta_3 X_{3i} + \varepsilon_i şeklindedir.

Gübre kullanım miktarının (X2X_2) rekolte üzerindeki marjinal etkisini gösteren β2\beta_2 katsayısının En Küçük Kareler (EKK) tahmini β^2=4,25\hat{\beta}_2 = 4,25 ve bu tahminin standart hatası Sβ^2=0,80S_{\hat{\beta}_2} = 0,80 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, β2\beta_2 parametresi için %95\%95 güven düzeyinde oluşturulacak güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Tablo değerleri: Z0,025=1,960Z_{0,025} = 1,960; t0,05;28=1,701t_{0,05; 28} = 1,701; t0,025;28=2,048t_{0,025; 28} = 2,048; t0,025;29=2,045t_{0,025; 29} = 2,045; t0,025;31=2,040t_{0,025; 31} = 2,040)

  1. [2,612;5,888][2,612 ; 5,888]Answer
  2. B
    [2,682;5,818][2,682 ; 5,818]
  3. C
    [2,614;5,886][2,614 ; 5,886]
  4. D
    [2,618;5,882][2,618 ; 5,882]
  5. E
    [2,889;5,611][2,889 ; 5,611]

Answer

Doğru güven aralığı [2,612;5,888][2,612 ; 5,888] sınırlarına sahiptir.
Çoklu doğrusal regresyonda katsayılar için güven aralığı hesaplanırken β^i±tα/2;n−p×Sβ^i\hat{\beta}_i \pm t_{\alpha/2; n-p} \times S_{\hat{\beta}_i} formülü kullanılır. Burada gözlem sayısı n=32n=32 ve modeldeki toplam parametre sayısı (3 bağımsız değişken + 1 sabit) p=4p=4'tür. Serbestlik derecesi sd=32−4=28sd = 32 - 4 = 28 olarak bulunur. %95\%95 güven aralığı için iki yönlü tt değeri olan t0,025;28=2,048t_{0,025; 28} = 2,048 seçilmelidir. Sınırlar 4,25±2,048×0,804,25 \pm 2,048 \times 0,80 işleminden [2,6116;5,8884][2,6116 ; 5,8884] elde edilir ve yuvarlanarak [2,612;5,888][2,612 ; 5,888] bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Çoklu doğrusal regresyon modeli için hata varyansının serbestlik derecesini hesapla.
sd=n−p=32−4=28sd = n - p = 32 - 4 = 28
Çoklu regresyon modelinde güven aralığı hesaplanırken kullanılan t-istatistiğinin serbestlik derecesi, gözlem sayısından (nn) tahmin edilen toplam parametre sayısının (pp) çıkarılmasıyla bulunur. Modelde 3 bağımsız değişken ve 1 sabit terim olduğundan p=4p = 4'tür.
2
Kritik t-tablo değerini belirle.
tα/2;sd=t0,025;28=2,048t_{\alpha/2; sd} = t_{0,025; 28} = 2,048
%95\%95 güven düzeyi için α=0,05\alpha = 0,05'tir. Güven aralığı çift yönlü bir kestirim olduğundan, anlamlılık düzeyi ikiye bölünür (α/2=0,025\alpha/2 = 0,025).
3
Güven aralığının alt ve üst sınırlarını hesapla.
Alt sınır: 4,25−(2,048×0,80)=2,6116≈2,6124,25 - (2,048 \times 0,80) = 2,6116 \approx 2,612. Üst sınır: 4,25+(2,048×0,80)=5,8884≈5,8884,25 + (2,048 \times 0,80) = 5,8884 \approx 5,888.
Güven aralığı genel formülü β^j±tkritik×Sβ^j\hat{\beta}_j \pm t_{kritik} \times S_{\hat{\beta}_j} şeklindedir.

Key Concept

Çoklu Regresyonda Parametreler İçin Güven Aralıkları
Rate this question

Topics

Katsayılar İçin Güven Aralıkları

More questions from this topic