Examkin

Question

Difficulty: HardPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bir sigorta şirketinde, hasar taleplerinin büyüklüğünü (bin TL cinsinden) modellemek üzere aşağıdaki dağılım varsayımı yapılmıştır:

f(x;θ)=θxθ+1,x>1,θ>0f(x; \theta) = \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, \quad x > 1, \quad \theta > 0

Geçmiş hasar kayıtlarından seçilen nn hacimli bağımsız ve aynı dağılımlı X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n örneklemi kullanılarak, bilinmeyen θ\theta parametresine yönelik bir güven aralığı oluşturulacaktır.

Buna göre, güven sınırlarının türetilmesinde eksen (pivot) fonksiyonu olarak kullanılabilecek istatistik ve sahip olduğu olasılık dağılımı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

  1. 2θ∑i=1nln⁡(Xi)∼χ(2n)22\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}Answer
  2. B
    θ∑i=1nln⁡(Xi)∼χ(n)2\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(n)}
  3. C
    2θ∑i=1nln⁡(Xi)∼χ(2n)2\frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}
  4. D
    2θ∑i=1nXi∼χ(2n)22\theta \sum_{i=1}^n X_i \sim \chi^2_{(2n)}
  5. E
    2∑i=1nln⁡(Xi)∼χ(2n)22 \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)}

Answer

2θ∑i=1nln⁡(Xi)∼χ(2n)22\theta \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \chi^2_{(2n)} şeklinde verilen eksen (pivot) fonksiyonu ve dağılımıdır.
XiX_i değişkenleri Pareto dağılımına sahipken, Yi=ln⁡(Xi)Y_i = \ln(X_i) dönüşümü yapıldığında değişkenler Yi∼U¨stel(θ)Y_i \sim \text{Üstel}(\theta) dağılımına dönüşür. Bağımsız üstel dağılımların toplamı Gamma(n,θ)\text{Gamma}(n, \theta) dağılımı verir. Eksen fonksiyonunun temel kuralı, olasılık dağılımının bilinmeyen parametreden tamamen bağımsız olmasıdır. Bu istatistik 2θ2\theta ile çarpıldığında, yeni dağılım Gamma(n,1/2)\text{Gamma}(n, 1/2) yapısına ulaşır. İstatistik teorisinde Gamma(k/2,1/2)\text{Gamma}(k/2, 1/2) dağılımı, kk serbestlik dereceli Ki-kare (χk2\chi^2_k) dağılımına eştir. Dolayısıyla, dağılımı parametreden arınmış ve χ(2n)2\chi^2_{(2n)} olan bu yapı, kusursuz bir eksen fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1
Yi=ln⁡(Xi)Y_i = \ln(X_i) dönüşümünü yaparak her bir gözlemin yeni dağılımını belirlemek.
Xi∼Pareto(1,θ)X_i \sim \text{Pareto}(1, \theta) olduğundan, Yi∼U¨stel(θ)Y_i \sim \text{Üstel}(\theta) dağılımına sahip olduğu görülür.
Pareto dağılımının parametresini üstel formda izole ederek toplamsal işlemlere uygun hale getirmek.
2
Dönüştürülmüş bağımsız değişkenlerin toplamının dağılımını bulmak.
∑i=1nln⁡(Xi)∼Gamma(n,θ)\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \sim \text{Gamma}(n, \theta) elde edilir.
Bağımsız üstel dağılımlı rassal değişkenlerin toplamı Gamma dağılımı gösterir.
3
Dağılımı bilinmeyen θ\theta parametresinden bağımsız kılacak katsayıyı uygulamak.
Toplam istatistiği 2θ2\theta ile çarpıldığında dağılım Gamma(n,1/2)\text{Gamma}(n, 1/2) formuna, yani tam olarak 2n2n serbestlik dereceli Ki-kare (χ(2n)2\chi^2_{(2n)}) dağılımına dönüşür.
Bir istatistiğin eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için olasılık dağılımının kitle parametrelerinden tamamen bağımsız olması gerekir.

Key Concept

Bir fonksiyonun aralık tahmini amacıyla pivot (eksen) fonksiyonu olarak kullanılabilmesi için, fonksiyonun kendisinin bilinmeyen parametreyi içermesi ancak olasılık dağılımının bu parametreden tamamen bağımsız olması şarttır.
Rate this question

Topics

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

More questions from this topic