Sürekli bir X rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) aşağıda verilmiştir… — KPSS İstatistik

Sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) aşağıda verilmiştir:

F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ \frac{kx^2}{x^2 + 4}, & x > 0 \end{cases}

Burada $k$ bir sabittir.

Buna göre, $X$ 'in 1'den büyük olduğu bilindiğine göre, 2'den küçük veya eşit olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Doğru yanıt

\frac{3}{8}

değeridir.

Doğru yanıt

\frac{3}{8}

değerini veren seçenektir. Olasılık kurallarına göre geçerli bir birikimli dağılım fonksiyonu için

\lim_{x \to \infty} F(x) = 1

olmalıdır, bu nedenle fonksiyondaki

k=1

olarak tespit edilir. Soruda istenen

P(X \le 2 \mid X > 1)

koşullu olasılığı, kesişim olasılığının koşul olasılığına bölünmesi olan

P(1 < X \le 2) / P(X > 1)

formülüne eşittir. Bu oran

(F(2)-F(1)) / (1-F(1))

şeklinde ifade edilir ve değerler yerine konulduğunda

(1/2 - 1/5) / (1 - 1/5) = (3/10) / (4/5) = 3/8

sonucunu verir.

CDF'in limit özelliğini kullanarak k sabitini belirleme

\lim_{x \to \infty} \frac{kx^2}{x^2+4} = k = 1

elde edilir.

Geçerli bir birikimli dağılım fonksiyonunun sonsuzdaki limiti daima 1 olmalıdır.

Verilen koşulun gerçekleşme olasılığını (

P(X > 1)

) hesaplama

P(X > 1) = 1 - F(1) = 1 - \frac{1^2}{1^2+4} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

bulunur.

Koşullu olasılık formülünün paydası için koşul olayının olasılığına ihtiyaç vardır.

Pay kısmı için kesişim olayının olasılığını hesaplama

P((X \le 2) \cap (X > 1)) = P(1 < X \le 2) = F(2) - F(1) = \frac{2^2}{2^2+4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}

bulunur.

İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, CDF kullanılarak

P(a < X \le b) = F(b) - F(a)

bağıntısı ile bulunur.

Koşullu olasılık formülünü uygulama

P(X \le 2 \mid X > 1) = \frac{P(1 < X \le 2)}{P(X > 1)} = \frac{3/10}{4/5} = \frac{3}{10} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}

olarak hesaplanır.

Soruda,

X

'in 1'den büyük olduğu bilindiğine göre 2'den küçük veya eşit olma durumu istendiği için koşullu olasılık kuralı işletilir.

Birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) limit özellikleri ve sürekli dağılımlarda aralık ile koşullu olasılık hesabı.

Question