Bir kamu kurumunda, vatandaşların çağrı merkezinde bekleme süresi (dakika olarak) X sürekl… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda, vatandaşların çağrı merkezinde bekleme süresi (dakika olarak) $X$ sürekli tesadüfi değişkeni ile modellenmektedir. Bekleme süresine ait birikimli dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{k \cdot x^2}{9 + x^2}, & x \ge 0 \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir vatandaşın çağrı merkezinde $1$ ile $3$ dakika arasında bekleme olasılığı kaçtır?

A
$\frac{1}{10}$
B
$\frac{1}{6}$
C
$\frac{4}{13}$
$\frac{2}{5}$ Answer
E
$\frac{1}{2}$

Answer

Doğru yanıt

\frac{2}{5}

değeridir.

Geçerli bir birikimli dağılım fonksiyonunun

x \to \infty

limitinde

1

'e eşit olması gerekliliğinden hareketle

k=1

sabiti tespit edilir. Sürekli tesadüfi değişkenler için

P(1 < X < 3)

olasılığı

F(3) - F(1)

farkı ile hesaplanır. Fonksiyonda yerine konulduğunda

F(3) = \frac{1}{2}

F(1) = \frac{1}{10}

bulunur. Bu iki değerin farkı olan

\frac{2}{5}

, ilgili zaman aralığındaki doğru bekleme olasılığını verir.

Step-by-Step Solution

Dağılım fonksiyonunun asimptotik limit özelliğini kullanarak

k

sabitinin bulunması

\lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \implies \lim_{x \to \infty} \frac{k \cdot x^2}{9 + x^2} = k = 1

Geçerli bir birikimli dağılım fonksiyonunun

x

sonsuza giderken alacağı değer

1

olmalıdır.

k

değeri yerine yazılarak dağılım fonksiyonunun son halinin oluşturulması

x \ge 0

için

F(x) = \frac{x^2}{9 + x^2}

elde edilir.

Olasılık hesaplamalarında tam ve eksiksiz fonksiyonun kullanılması gerekir.

İstenen bekleme süresi aralığı için olasılık bağıntısının ifade edilmesi

P(1 < X < 3) = F(3) - F(1)

Sürekli rastgele değişkenlerde

a < X < b

aralığının olasılığı, CDF'in uç noktalardaki değerlerinin farkına eşittir.

Sınır değerlerinin CDF fonksiyonunda yerine konularak aralık olasılığının hesaplanması

F(3) = \frac{3^2}{9+3^2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}

F(1) = \frac{1^2}{9+1^2} = \frac{1}{10}

. Farkları:

\frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5-1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Sınır değerleri için CDF hesaplaması tamamlanmış ve aranan nihai olasılık matematiksel olarak elde edilmiştir.

Key Concept

Birikimli dağılım fonksiyonunun (CDF) sonsuzdaki limit özelliği ve sürekli değişkenlerde aralık olasılığı hesabı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics