Examkin

Question

Difficulty: MediumBirikimli Dağılım Fonksiyonu ve Özellikleri

Bir e-ticaret platformunda, kullanıcıların belirli bir ürünü sepete ekledikten sonra satın alma işlemini tamamlama süreleri (saat cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Kullanıcıların bir kısmı ürünü sepete ekler eklemez (tam 00. saatte) anında satın almaktadır. XX rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) aşağıda verilmiştir:

F(x)={0,x<014+34(1−e−2x),x≥0F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{4} + \frac{3}{4}(1 - e^{-2x}), & x \ge 0 \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir kullanıcının ürünü anında satın almayıp, sepete ekledikten sonraki ilk 11 saat içinde satın alma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 34(1−e−2)\frac{3}{4}(1 - e^{-2})Answer
  2. B
    1−34e−21 - \frac{3}{4}e^{-2}
  3. C
    1−e−21 - e^{-2}
  4. D
    32e−2\frac{3}{2}e^{-2}
  5. E
    14\frac{1}{4}

Answer

İstenen ortak olasılık 34(1−e−2)\frac{3}{4}(1 - e^{-2}) değerine eşittir.
Soruda kullanıcının ürünü anında satın almaması (yani X>0X > 0) ve ilk 1 saat içinde satın alması (yani X≤1X \le 1) durumlarının birlikte gerçekleşme olasılığı istenmektedir. Bu durum matematiksel olarak P(0<X≤1)P(0 < X \le 1) aralığını ifade eder. Birikimli dağılım fonksiyonlarında bu aralığın olasılığı F(1)−F(0)F(1) - F(0) formülüyle hesaplanır. Fonksiyonda değerleri yerine koyduğumuzda F(1)=1−34e−2F(1) = 1 - \frac{3}{4}e^{-2} ve F(0)=14F(0) = \frac{1}{4} bulunur. İkisinin farkı alındığında sonuç 34(1−e−2)\frac{3}{4}(1 - e^{-2}) çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Soruda istenen olasılık ifadesinin matematiksel karşılığını belirle.
İstenen durum: X>0X > 0 (anında almayıp) ve X≤1X \le 1 (ilk 1 saat içinde). Bu kesişim durumu P(0<X≤1)P(0 < X \le 1) aralığıdır.
Olayların ortak gerçekleşme olasılığı sorulduğu için alt ve üst sınırları net olarak tanımlamalıyız.
2
Aralık olasılığını Birikimli Dağılım Fonksiyonu (CDF) cinsinden yaz.
P(0<X≤1)=P(X≤1)−P(X≤0)=F(1)−F(0)P(0 < X \le 1) = P(X \le 1) - P(X \le 0) = F(1) - F(0)
CDF'in temel özelliği olan P(a<X≤b)=F(b)−F(a)P(a < X \le b) = F(b) - F(a) eşitliği kullanılarak aralık olasılığı hesaplanabilir.
3
F(1)F(1) değerini hesapla.
F(1)=14+34(1−e−2(1))=14+34−34e−2=1−34e−2F(1) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}(1 - e^{-2(1)}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}e^{-2} = 1 - \frac{3}{4}e^{-2}
Verilen F(x)F(x) fonksiyonunda x=1x=1 noktasındaki birikimli olasılığı buluyoruz.
4
F(0)F(0) değerini hesapla.
F(0)=14+34(1−e−2(0))=14+0=14F(0) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}(1 - e^{-2(0)}) = \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4}
x=0x=0 noktasındaki ani sıçrama (kesikli kısım) olasılığını buluyoruz. Bu aynı zamanda P(X=0)P(X=0) değeridir.
5
F(1)F(1) ile F(0)F(0) değerlerinin farkını al.
(1−34e−2)−14=34−34e−2=34(1−e−2)(1 - \frac{3}{4}e^{-2}) - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} - \frac{3}{4}e^{-2} = \frac{3}{4}(1 - e^{-2})
Adım 2'de kurulan denklemi çözerek nihai sonuca ulaşıyoruz.

Key Concept

Karma (Mixed) Rastgele Değişkenlerde Aralık Olasılığı
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Birikimli Dağılım Fonksiyonu ve Özellikleri

More questions from this topic